§3矩阵的条件数与病态线性方程组判断计算方法的好坏，可用算法是否稳定、解的精确程度以及计算量、存储量的大小(dàxiǎo)来衡量。然而，同一方法用于不同问题，效果却可以相差很远。121221.00012xxxx解为122;0xx例如(lìrú)方程组①第一页，共十五页。方程组121220.99991.9999xxxx的解为121;1xx它们的解变化很大，这样的方程组称为(chēnwéi)ɡ“病态”方程组。②下面，我们(wǒmen)给出方程组“病态”，“良态”概念及其衡量标准，并介绍判断近似解可靠性方法。第二页，共十五页。为找出刻画方程组AX=b①（A非奇异，b≠0）病态(bìngtài)程度的衡量标准，我们来分析A，b初始数据微小变化对解X的影响。由于方程组AX=b系数矩阵A与右端向量b的初始数据微小变化(biànhuà)引起解的很大变化(biànhuà)，这样的方程组称为“病态”方程组。1矩阵(jǔzhèn)的条件数与线性方程组的性态第三页，共十五页。（1）仅b有小扰动(rǎodòng)δb设方程组AX=b+δb的解为即()AXXbb②-①得AXb即1XAb于是(yúshì)有1XAb另一方面，由①得bAX且0X故1AXb②③④XXX~第四页，共十五页。由③与④有1XbAAXb表明解的相对误差(xiānduìwùchà)ɡ不超过右端向量b的相对误差的1AA倍。⑤第五页，共十五页。（2）仅有小扰动(rǎodòng)δA（设A+δA仍可逆）设方程组()AAXb的解为即()()AAXXb⑥-①得()0AXXAX即1()XAAXX于是(yúshì)有1XAAXX⑥XXX~第六页，共十五页。因A+δA可逆且b≠0从而(cóngér)X+δX≠0，故由上式可得1XAAAXXA1AA倍。⑦表明解的相对误差(xiānduìwùchà)ɡ不超过系数矩阵A的第七页，共十五页。1AA分析表明，数反映了方程组AX=b的解对初始数据A，b扰动(rǎodòng)的灵敏度，可用来刻画方程组的病态程度。我们称数为矩阵(jǔzhèn)A的条件数，记作1AA()CondA1()CondAAA即第八页，共十五页。1()CondAAA与1222()CondAAA由线性代数(xiànxìndàishù)ɡ知识，有max2min()()()TTAACondAAA通常(tōngcháng)使用的条件数有在行模意义下的条件数与在谱模意义下的条件数，即第九页，共十五页。定义设A是非(shìfēi)奇异矩阵，若则称方程组AX=b为病态(bìngtài)方程组；若()CondA相对(xiāngduì)地小，则称方程组AX=b为比如矩阵1111.0001A...
