2013-2014学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

2013-2014学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．6 2．（4分）如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（4分）二次函数y＝﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2﹣1 B．y＝2x2+1 C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣1 5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 6．（4分）若关于x的方程（x+1）2＝k﹣1没有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1 7．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2，则AC等于（　　） A．4 B．6 C． D． 8．（4分）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．（4分）比较大小：　 　3（填“＞”、“＝”或“＜”）． 10．（4分）如图，A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝100°，则∠ACB＝　 　°． 11．（4分）已知点P（﹣1，m）在二次函数y＝x2﹣1的图象上，则m的值为　 　；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为　 　． 12．（4分）在△ABC中，E、F分别是AC、BC边上的点，P1、P2、P3、…、Pn﹣1是AB边的n等分点，CE＝AC，CF＝BC．如图1，若∠B＝40°，AB＝BC，则∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EPn﹣1F＝　 　度；如图2，若∠A＝α，∠B＝β，则∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+…+∠EPn﹣1F＝　 　（用含α，β的式子表示）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（5分）计算：． 14．（5分）解方程：x（x﹣3）＝2（3﹣x）． 15．（5分）如图，在△ABC和△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．求证：． 16．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．求它的解析式及顶点坐标． 17．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且BD＝DC，E是BC上一点，且CE＝DA．求证：AB＝ED． 18．（5分）若关于x的方程x2+2x+k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取得最大整数值时，求此时方程的根． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（5分）如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为r米，面积为S平方米．（注：π的近似值取3） （1）求出S与r的函数关系式，并写出自变量r的取值范围； （2）当半径r为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值． 20．（5分）如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作DE⊥AP交AP于E点． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE＝3，AC＝8，求直径AB的长． 21．（5分）已知二次函数y＝2x2+m． （1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1　 　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）； （2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和． 22．（5分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得． 我们称晓东这种解法为“平均数法”． （1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程． 解：原方程可变形，得 [（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5． （x+□）2﹣〇2＝5， （x+□）2＝5+〇2． 直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤． 上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5． 五、解答题（本题共22分，第23、24小题各7分，第25小题8分） 23．（7分）已知抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）． （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值； （3）若一次函数y＝kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式． 24．（7分）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE． （1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE； （2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG＝BD． ①求∠BDE的度数； ②请直接写出正方形CEFG的边长的值． 25．（8分）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点． （1）求此二次函数的解析式和点C的坐标； （2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD； （3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标． 2013-2014学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．6 【分析】原式利用平方根的定义计算即可得到结果． 【解答】解：＝3． 故选：A． 【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（4分）如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用中心对称图形的性质直接判断得出． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确根据图形判断得出是解题关键． 3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴即 解得：EC＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是关键． 4．（4分）二次函数y＝﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2﹣1 B．y＝2x2+1 C．y＝2x2 D．y＝2x2﹣1 【分析】根据原抛物线的顶点坐标求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1）， ∴绕坐标原点O旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1）， 又∵旋转后抛物线的开口方向上， ∴旋转后的抛物线的解析式为y＝2x2﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便． 5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切． 【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4， 所以圆与y轴相交， 故选：C． 【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切． 6．（4分）若关于x的方程（x+1）2＝k﹣1没有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k＜1 C．k≥1 D．k＞1 【分析】通过直接开平方法解得x+1＝±，则根据二次根式有意义的条件得到不等式k﹣1＜0，由此求得k的取值范围． 【解答】解：解方程（x+1）2＝k﹣1得到：x+1＝±， ∵关于x的方程（x+1）2＝k﹣1没有实数根， ∴k﹣1＜0， 解得，k＜1． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．解题时，利用了二次根式的被开方数是非负数求得k的取值范围． 7．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A＝30°，AB＝2，则AC等于（　　） A．4 B．6 C． D． 【分析】连接OB，则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，则AC即可求解． 【解答】解：连接OB． ∵AB是⊙O的切线，B为切点， ∴OB⊥AB， 在直角△OAB中，OB＝AB•tanA＝2×＝2， 则OA＝2OB＝4， ∴AC＝4+2＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断△OAB是直角三角形是关键． 8．（4分）如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2， 当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图， CD＝x，则AD＝2﹣x， ∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2， ∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM＝2﹣x， ∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2， ∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2， ∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2， ∴y＝， 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可