南开大学学报（自然科学版）ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisNankaiensisVol.56№1Feb.2023第56卷第1期2023年2月文章编号:0465-7942(2023)01-0071-05具有可求和二分性非线性离散系统的反周期解孟鑫(吉林师范大学数学与计算机学院,吉林四平136000)摘要：研究了一类具有可求和二分性非线性离散系统的反周期解.应用Leary-Schauder度理论,给出了非线性离散系统存在反周期解的充分条件.最后通过例子说明了主要结论在实际问题中应用.关键词：离散系统;可求和二分性;反周期解;Leary-Schauder度中图分类号：O175.12文献标识码：A0引言周期性问题是离散系统理论研究中的一个经典问题,离散系统反周期解的研究与周期解的研究是密切相关的.反周期解在一些物理过程的数学模型中,以及偏微分方程和抽象微分方程研究中得到广泛关注.而反周期解的存在性和稳定性在描述离散系统动力学行为中同样起着重要作用.近年来,许多学者对离散系统的反周期解存在性问题进行了深入的研究,获得了一些有趣的结果[1-4].指数型二分性与指数型三分性是研究非线性微分方程以及非自治离散系统的重要的工具,关于指数型二分性与指数型三分性在离散动力系统中的应用,已经有了一些基本的结论[5-8].可求和二分性是指数型二分性的推广,文献[9-10]应用可和二分性研究了离散系统解的存在性问题.对于离散动力系统x(n+1)=f(n,x(n)),(1)其中,x:Z→Rd,f:Z×Rd→Rd连续.若存在正整数N,对任意n∈Z,x∈Rd,f(n+N,x)=-f(n,-x),则称系统(1)为N-反周期系统.若系统(1)的解x(n)满足x(n+N)=-x(n),则称x(n)为系统(1)的N-反周期解.主要研究非线性离散N-反周期系统(1)反周期解的存在性.借助可求和二分性,并利用Leary-Schauder度理论,给出上述系统N-反周期解存在的充分条件,并通过例子说明该充分条件在实际问题中的应用.1预备知识对于线性系统x(n+1)=A(n)x(n),(2)其中,A:Z→Rd×d,x:Z→Rd.设Φ(n)是系统(2)的基本解矩阵,且满足Φ(0)=I.若存在投影P,以及常数K,α>0,使得||Φ(n)PΦ-1(m)≤Ke-α(n-m),n≥m,||Φ(n)(I-P)Φ-1(m)≤Ke-α(m-n),m≥n,则称系统(2)具有指数型二分性.若存在投影P和常数μ>0,使得收稿日期：2021-11-17基金项目：国家自然科学基金(10971084)作者简介：孟鑫(1980-),男,吉林九台人,副教授,研究方向:动力系统．E-mailmengxin0419@126.com·72·南开大学学报（自然科学版）第56卷G(n,m)={Φ(n)PΦ-1(m),n≥m,-Φ(n)()I-PΦ-1(m),m≥n满足supn∈Z∑m=-∞+∞||G(n,m)=μ,则称系统(2)具有可求和...
