北京市第四十四中学2023学年高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 A． B． C． D． 2．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( ) A．. B． C． D． 4．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．二项式展开式中，项的系数为（ ） A． B． C． D． 6．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ） A． B． C． D． 7．设复数，则=（ ） A．1 B． C． D． 8．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知集合，，则的真子集个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．不等式组表示的平面区域为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 11．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A． B． C． D． 12．等差数列中，，，则数列前6项和为（） A．18 B．24 C．36 D．72 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中的系数为________. 14．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________． 15．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米. 16．已知向量，且 ，则实数的值是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点． （1）当在区间上变动时，求中点的轨迹； （2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值． 18．（12分）已知等比数列是递增数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏. （1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？ （2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望. 20．（12分）在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由. 21．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 22．（10分）已知函数有两个极值点，. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【题目详解】 解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1， 过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题． 2、C 【答案解析】 直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值． 【题目详解】 设抛物线的准线为， 直线恒过定点， 如图过A、B分别作于M，于N， 由，则， 点B为AP的中点、连接OB，则， ∴，点B的横坐标为， ∴点B的坐标为，把代入直线， 解得， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 3、C 【答案解析】 根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【题目详解】 A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误； B中，，所以在区间上为减函数，则错误； D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误； 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题. 4、A 【答案解析】 由复数的运算法则计算． 【题目详解】 因为，所以 故选：A． 【答案点睛】 本题考查复数的运算．属于简单题． 5、D 【答案解析】 写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可. 【题目详解】 二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题. 6、D 【答案解析】 由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围． 【题目详解】 解：，或其积，或其商仍是该数列中的项， 或者或者是该数列中的项， 又数列是递增数列， ， ，，只有是该数列中的项， 同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有， ，或（舍，， 根据，，， 同理易得，，，，，， ， 故选：D． 【答案点睛】 本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题． 7、A 【答案解析】 根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【题目详解】 复数， 则 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题. 8、D 【答案解析】 通过列举法可求解，如两角分别为时 【题目详解】 当时，，但，故充分条件推不出； 当时，，但，故必要条件推不出； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题 9、C 【答案解析】 求出的元素，再确定其真子集个数． 【题目详解】 由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集． 10、D 【答案解析】 根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案. 【题目详解】 解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示， 其中 ，， 设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍， 由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即， 当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即， 故AB错误； 设，则的几何意义为点与点连线的斜率， 由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确； 故选：D. 【答案点睛】 本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题. 11、C 【答案解析】 首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案． 【题目详解】 当n=k时，等式左端=1+1+…+k1， 当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 12、C 【答案解析】 由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果. 【题目详解】 ∵等差数列中，，∴，即， ∴， 故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、80. 【答案解析】 只需找到展开式中的项的系数即可. 【题目详解】 展开式的通项为，令， 则，故的展开式中的系数为80. 故答案为：80. 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题. 14、 【答案解析】 ∵复数且 ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为， 15、 【答案解析】 建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段的长度，最后利用导数来求函数最小值. 【题目详解】 以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则， 所以，所以， ， 则， 则 ， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以当时，最短，此时. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查导数的实际应用，属于中档题. 16、 【答案解析】 ∵=（1，2），=（x，1）， 则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4）， =2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3）， ∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=1，解得：x=． 点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=1，∥⇔a1b2﹣a2b1=1． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）．（2）的周长为，时，的周长为 【答案解析】 （1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解. （2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解. 【题目详解】 （1）设的方程为 于是 联立 设､坐标分别是､ 则 设的中点坐标为，则 消去参数得： （2）设，，由抛物线定义知 ，， ∴ 由（1）知 ∴ ，， 的周长为 时，的周长为 【答案点睛】 本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题. 18、 (1) (2) 【答案解析】 （1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和．