北京师范大学蚌埠附属学校2023学年高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是（ ）. A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少 C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍 D．2016年与2019年艺体达线人数相同 2．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ） A． B．3 C． D．2 6．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( ) A．3 B．2 C．4 D．5 9． “且”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 11．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( ) A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数 C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b 12．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设实数满足约束条件,则的最大值为______. 14．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_. 15．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，<，=） 16．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）. （1）请用角表示清洁棒的长； （2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 18．（12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标； （2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值. 19．（12分）（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围． 20．（12分）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中： （1）证明：平面平面ABC； （2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值. 21．（12分）的内角，，的对边分别为，,已知，. （1）求； （2）若的面积，求. 22．（10分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=, （1）求f(x)的最小值； （2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：对一切，都有成立． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D. 【题目详解】 设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为， 2019年不上线人数为，故A正确； 2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误； 2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了 倍，故C错误； 2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目. 2、C 【答案解析】 根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期. 【题目详解】 解：由于在区间有三个零点，，， 当时，， ∴由对称轴可知，满足， 即. 同理，满足，即， ∴，， 所以最小正周期为：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力. 3、B 【答案解析】 根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出. 【题目详解】 为上的奇函数， ， 而函数是上的偶函数，， ， 故为周期函数，且周期为 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 4、B 【答案解析】 由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论. 【题目详解】 由题意知方程在上恰有三个不相等的实根， 即，①. 因为，①式两边同除以，得. 所以方程有三个不等的正实根. 记，，则上述方程转化为. 即，所以或. 因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，. 当时，，在上单调递减，且时，. 所以当时，取最大值，当，有一根. 所以恰有两个不相等的实根，所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 5、D 【答案解析】 根据抛物线的定义求得，由此求得的长. 【题目详解】 过作，垂足为，设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6、D 【答案解析】 设，由，得，利用复数相等建立方程组即可. 【题目详解】 设，则，所以， 解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 7、B 【答案解析】 转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【题目详解】 由，可知． 设，则， 所以函数在上单调递增， 所以． 所以． 故的取值范围是． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8、A 【答案解析】 根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值. 【题目详解】 ，，对任意的，存在实数满足，使得， 易得，即恒成立， ，对于恒成立, 设，则， 令，在恒成立， ， 故存在，使得，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ,将代入得： ， ，且， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 9、A 【答案解析】 画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断. 【题目详解】 如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形， 记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q， 显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:. 【答案点睛】 本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易. 10、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 11、A 【答案解析】 求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数. 【题目详解】 依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有 ，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数. 故选：A 【答案点睛】 本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题． 12、C 【答案解析】 令圆的半径为1，则，故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：作出不等式组所表示的平面区域如图，当直线过点时，最大，且 考点：线性规划. 14、 【答案解析】 根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数 取得最小值. 【题目详解】 由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分： 将目标函数，转化为， 平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点 此时，目标函数 取得最小值，最小值为 故答案为：-1 【答案点睛】 本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 15、> 【答案解析】 根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系. 【题目详解】 ，故 . ， . 要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得 ①， 由于为互不相等的正实数，故，也即 ，也即. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题. 16、 【答案解析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值. 【题目详解】 解：的实部与虚部相等, 所以,计算得出. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查复数的