北京市西城区第三十一中学2023学年高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是 A．在内总存在与平面平行的线段 B．平面平面 C．三棱锥的体积为定值 D．可能为直角三角形 4．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（　　） A． B． C． D．大小关系不能确定 5．已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12 9．设为等差数列的前项和，若，则 A． B． C． D． 10．在三角形中，，，求（ ） A． B． C． D． 11．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ） A．2014年我国入境游客万人次最少 B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次 D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 12．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为_____. 14．设为正实数，若则的取值范围是__________． 15．直线是曲线的一条切线为自然对数的底数)，则实数__________. 16．函数的定义域为____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数,其中,. (1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由. (2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围. 18．（12分）已知a＞0，证明：1． 19．（12分）如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令 a11 a12 … a1n a21 a22 a2n … … … … an1 an2 … ann （Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0； （Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合． 20．（12分）已知函数 （1）若，不等式的解集； （2）若，求实数的取值范围. 21．（12分）已知函数． （1）求函数的零点； （2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：； （3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围． 22．（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. （1）求和的普通方程； （2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解. 【题目详解】 如图， 因为为等腰三角形，， 所以，, ， 又， ， 解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题. 2、C 【答案解析】 求出集合，计算出和，即可得出结论. 【题目详解】 ，，，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行； B项利用线面垂直的判定定理； C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值; D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形. 【题目详解】 A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确； B项，如图： 当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确； C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确； D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【答案点睛】 本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题. 4、B 【答案解析】 先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【题目详解】 根据题意，阴影部分的面积的一半为：， 于是此点取自阴影部分的概率为． 又，故． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 5、B 【答案解析】 设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【题目详解】 将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示， 设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则，得．因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有，∴ ．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD的棱长为，因此，这个正四面体的表面积为． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题． 6、C 【答案解析】 模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【题目详解】 运行该程序： 第一次，，； 第二次，，； 第三次，，， …； 第九十八次，，； 第九十九次，，， 此时要输出的值为99. 此时. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 7、C 【答案解析】 依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，再根据三角函数的平移规则计算可得； 【题目详解】 解：由已知得，是的一条对称轴，且使取得最值，则，，，， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 8、D 【答案解析】 分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果. 【题目详解】 设， 联立 则， 因为直线经过C的焦点， 所以. 同理可得， 所以 故选：D. 【答案点睛】 本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。 9、C 【答案解析】 根据等差数列的性质可得，即， 所以，故选C． 10、A 【答案解析】 利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值. 【题目详解】 ，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，，. 由正弦定理得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 11、D 【答案解析】 ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确. 【题目详解】 A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确； B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确； C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确； D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求. 12、B 【答案解析】 直接代入检验，排除其中三个即可． 【题目详解】 由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，， 故选：B． 【答案点睛】 本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、x﹣y＝0. 【答案解析】 先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程. 【题目详解】 由题意得. 故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0. 故答案为：x﹣y＝0. 【答案点睛】 本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题. 14、 【答案解析】 根据，可得，进而，有，而，令，得到，再用导数法求解， 【题目详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 令，， 所以， 当时，，当时， 所以当时，取得最大值， 又， 所以取值范围是， 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属于难题， 15、 【答案解析】 根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值. 【题目详解】 ，则，所以切点为，故切线为， 即，故. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题. 16、 【答案解析】 由题意得，解得定义域为． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明