第三章第八节正弦定理和余弦定理应用举例题组一距离问题1.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，那么这只船航行的速度为()A.海里/时B．34海里/时C.海里/时D．34海里/时解析：如图．由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°.在△PMN中，由正弦定理，得，∴MN=68×=34.又由M到N所用时间为14-10=4小时，∴船的航行速度v=(海里/时)．答案：A2．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30km.答案：303．如下列图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．解：在△ACD中，CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为AB＝＝a.题组二高度问题4.据新华社报道，强台风“珍珠〞在广东饶平登陆．台风中心最大风力到达12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，那么折断点与树干底部的距离是()A.米B．10米C.米D．20米解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，那么∠ABO=45°，∠AOB=75°，OAB=60°.∴∠由正弦定理知，，∴AO=(米)．答案：A5．在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10m，又测得塔顶的仰角为4θ，那么塔的高度为________．解析：如图，依题意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC中，由余弦定理可得cos2θ==，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中，可得PD=PC·sin4θ=10·=15(m)．答案：15m6．某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m)．解：画出示意图(如下列图)设山高PQ=h，那么△APQ、△BPQ均为直角三角形，在图(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°....
