第一篇：说课的细节及注意事项

中学数学说课问题探索。(关于说课的几个问题)

一、关于“说课”的含义和特点

所谓“说课”，是指讲课教师在一定场合说说某一堂课打算怎样上，以及为什么这样上，即对教学的设计和分析。其内容涉及教材内容的分析、教学目标的确定、教学过程的设计、教学方法的选择、教学效果的评价及其对以上诸项所作的分析。“说课”是一种课前行为，属于课前准备的一部分，这与课后的反思总结有所不同。

“说课具有两个明显的特点：

(1)重在交流：互相学习、共同提高。

(2)重在分析：“说课”不仅要摆过程，还要说道理，要对教案作出分析，首先要分析大纲、教材，明确所讲内容的地位和作用、来龙去脉，然后对课堂教学的各个环节作出能说清道理的设计，这就要求教师在对课的分析上下一番功夫。

二、关于“说课”的功能

1、促进教研活动的开展；

2、促进教师队伍的建设；

3、促进教学质量的提高。

三、关于如何“说课”：

1、把握要求、容量适当：把握好程度份量，是上好一堂课的基本要求之一。要处理好提高教学效率与课堂教学的要求、容量的关系问题。一方面，要充分利用课堂上45分钟，提高课堂教学效率；另一方面课堂教学作为学生学习的一个重要环节，步子应该迈实，对所讲的内容应能基本落住。实际上，学习是一个不断积累的过程，不可能“速成”。教师的素养体现在对课堂教学中程度、分量的“度”的准确把握上。

2、立足于“课”，寓技于“课”：“说课”的侧重点主要是在对教学的设计和分析上。“说课”不同于教学基本功比赛，不同于教学技能表演，它必须立足于“课”本身。

3、掌握详略，突出重点：“说课”时，应在全面介绍情况的基础上，紧紧抓住那些教师较为关心、渴望了解的重点问题，展示出解决和处理问题的办法，以充分发挥“说课”的交流作用。

4、避免空乏，力求实在：既要有明确的教学要求，又要有落实的措施，使人看得清，抓得住，发挥好“说课”的交流作用。说课的内容及模式

说课的内容包括说教材、说教法、说学法、说教学程序、说板书设计等，说课的模式通常可采用如下的提纲式：

（一）说教材

教材简析（简要说明本说课的内容来自哪一学科、哪一册书、哪一章节）

本说课内容在学科知识体系中所处地位和作用

教学目标

教学重点和难点

（二）说教法

教学方法

教学手段

教学媒体的运用

（三）说学法

学习方法

能力培养

（根据教学内容和采取的教学方法及手段，教给学生一些学习方法，做到授之于渔）

（四）说教学程序 新课导入

新知识的学习

检测训练

总结巩固

（五）说板书设计

程序性

概括性

指导性

艺术性

（板书设计时要体现出程序性、概括性、指导性、艺术性）说课要坚持从实际出发，不能搞一刀切。应因材、因时、因地、因人（学生、教师）的不同采取不同的说课方式和方法，提高说课的科学性和可行性。关于说课

说课作为一种全新的教学研究方式，经过理论与实践双方面的论证已经发展比较成熟，各地区基本上都有一个非常成形、可操作性强的纲目。但我本人并不是很懂，在我这个简短而肤浅的汇报之中，不免要夹杂很多我个人的观点，供大家选择性地吸收和批判性地借鉴。人们通常把说课定义为：“在一定的场合下，教师依据教育理论、教学大纲、教材内容、学生情况、教学条件等，分析教学任务，陈述教学目标，讲说教学方案，然后让听者评说，达到共同提高之目的的教学研究形式。”

我个人对说课的理解和上面的诠释有些不同。目前，由于素质教育和减负的提出，大家都在注重课堂教学的效率，教师在课堂上的状态是快节奏、多活动、大训练量，安排得密不透风，不敢耽搁一秒钟，而评价者多以深入课堂听课的方式来进行评价，但深入分析一下，课堂效率的提高与否的背后关键是台下功夫。大家知道，台下功夫主要指备课，但通常意义上的备课无法全面而直接地体现思维过程。另外，在实际教学工作中，备课多是一种个体行为，我们备完课就去上课?quot;备讲两层皮“的现象在所难免。而说课主要是体现备课的思维过程，这个过程发生在备课与上课这两个环节之间，重点不仅要解决”教什么“和”如何教“，更重要的是解决”为什么这样教“的问题，有什么理论说明和实践依据，要达到什么样的教学目的，完成对学生哪些能力的培养和突破。说课是为了上好课，是为了提高课堂效率，也是对上课的总结、归纳、提炼和升华，具有教学研究和教育科研的价值。那么说课过程中，究竟要说些什么？怎么说？

对于说课的内容，目前有”四说“（说大纲教材、说教法、说学法、说教学设计），”五说“(大纲、教材、教法、学法、练习)等。我们宁波地区的说课要求和评价标准有五个方面：教材分析、目的分析．过程分析、教法分析、评价分析。下面我结合我自己的理解对这五个方面的要求进行一下说明。

教材分析：说教学大纲的要求；教材编写的意图；教材的前后联系；教材的重、难点及关键；学习类型的分析；前次概念与新知的联系；自己的个性见解等。

目的分析：说教材应达到的终点目标。结合实际制定教材应达到的知识、技能、德育、情感目标；列出切实可行又可检测的教学目标，同时阐明目标间的相互渗透以及德育与智育、知识与能力的结合点。

过程分析：说明构思整个教学过程的总体指导思想；说明教与学两种活动的有机结合的设计及其理论依据；说明典型教学环节的价值取向及其理论依据；说明教学程序的设计及其合理性；说明教学媒体的选择及如何对学生进行学法指导。在学习方法的选择上要充分考虑学生的自身因素与情境因素，如分析学生的认知基础、分析心理特征及对学习该内容的可接受性，分析学生思维方式与学习习惯对该内容的适应性，分析可能产生的差异。这是对教学对象进行深入剖析的过程，主要考查我们对学法的关注和探索。

教法分析：说出根据教材内容、学生实际、教学条件等而选择设计的教学方法。这一方面是说课过程中非常重要的一点，主要考查教师对教学方法的研究和选择。如果我们对传统的教学方法如讲解法、谈话法、练习法、讲练结合法等以及现代的教学方法如引导发现法、程序教学法（斯金纳）、自学辅导法（卢仲衡）、青浦经验（顾泠沅）、启研法、单元教学法、六课型教学法等都有一定的理解，并清楚每一种教学方法的制约因素、特点、选择标准等，完全可以在自己的个人教学观念之下进行合理选择和优化结合。

评价分析：说出教学评价、反馈与调节的措施及构想。这一点，是以反馈调控为手段，力求反馈全面（兼顾优、中、差生）、及时，并且要有多种应变的调控措施。

说课当中应该注意的几个问题：

1、防止说课变质，既不能把说课变成”试教“或”压缩式上课"，也不要把说课变成宣读教案或简述讲课要点。

2、在说教学程序设计时，所采用的方式、方法、手段，必须有充分的理论依据或较成熟的个人观点。

3、在讲说教法和学法的同时，要针对这堂特定的内容充分说明所选择的教法及对学生传授这种学法的理由，对相关的教学原则和教学规律应十分熟悉。

所谓“说课”，就是授课教师在独立备课的基础上，系统地谈自己的教学设想及理论依据，以达到相互交流、共同提高的一种教研形式。

狭义的说课是指教师以口头表达的方式，以教育科学理论和教材为依据，针对某节课的具体特点，以教师为对象，在备课和上课之间进行的教学研究活动。

一、说课的内容包括四个方面：

（一）、说教材

主要说明“教什么”的问题和“为什么要教这些”的道理。即在个人钻研教材的基础上，说清本节课的教学内容的主要特点，它在整个教材中的位置，作用和前后联系并说出教者是如何根据大纲和教材内容的要求确定本节课的教学目的、目标、重点、难点和关键的。

（二）、说教法

主要是说明“怎样教”和“为什么这样教”的道理。在确定教学目的要求后，恰当地选择先进的教学方法是至关重要的。因此，要解释教者是用的什么方法落实“双基”、渗透德育、培养能力、开发智力的；还要说出教者在教学中是如何发挥主导作用的，在精华要害的知识上进行点拨，在能力生长点上强化训练，以及如何处理教与学，讲与练的关系；同时说该课时如何使用教具、学具或电教手段。

（三）、说学法

主要说明学生要“怎样学”的问题和“为什么这样学”的道理。要讲清教者是如何激发学生学习兴趣、调动积极思维、强化学生主动意识的；还要讲出教者是怎样根据年级特点和学生的年龄、心理特征，运用哪些学习规律指导学生进行学习的。

（四）、说教学过程

说教学过程是说课的重点部分，因为通过这一过程的分析才能看到说课者独具匠心的教学安排，它反映着教师的教学思想，教学个性与风格。也只有通过对教学过程设计的阐述，才能看到其教学安排是否合理、科学，是否具有艺术性。

通常，教学过程要说清楚下面几个问题。

1、教学思路与教学环节安排。

说课者要把自己对教材的理解和处理，针对学生实际，借助哪些教学手段来组织教学的基本教学思想说明白。

说教学程序要把教学过程所设计的基本环节说清楚。但具体内容只须概括介绍，只要听讲人能听清楚“教的是什么”、“怎样教的”就行了。不能按教案像给学生上课那样讲。

另外注意一点是，在介绍教学过程时不仅要讲教学内容的安排，还要讲清“为什么这样教”的理论依据（包括大纲依据、课程标准依据、教学法依据、教育学和心理学依据等）。

2、说明教与学的双边活动安排。

这里说明怎样运用现代教学思想指导教学，怎样体现教师的主导作用和学生的主体活动和谐统一，教法与学法和谐统一，知识传授与智能开发的和谐统一，德育与智育的和谐统一。

3、说明重点与难点的处理。

要说明在教学过程中，怎样突出重点和解决难点，解决难点运用什么方法。

4、说明采用哪些教学手段辅助教学。什么时候、什么地方用，这样做的道理是什么？

5、说明板书设计。

说教学程序，还要注意运用概括和转述的语言，不必直接照搬教案，要尽可能少用课堂内师生的原话，以便压缩实录篇幅。

二、说课的方法和技巧

1、说“准”教材；

2、说“明”教法；

3、说“会”学法；

4、说“清”教学意图；

5、说“清”练习层次。

三、说课应注意以下几点：

第一，要在个人钻研教材的基础上，写成说课稿。说课稿不宣过长，时间应控制在10—20分钟之内为宜。

第二，说课与授课，说课稿与教案有一定的联系，但又有明显的区别，不应混为一谈。教案多是教学具体过程的罗列，而说课稿侧重于有针对性的理论指导的阐述；教案只说“怎样教”，而说课稿重点说清“为什么要这样教”。说课稿是教案的深化，扩展与完善。

第三，说课的理论依据，要随说课的步骤提出，使教例与教理水乳交融，有机结合；要避免穿靴戴帽式的集中“说理”，造成教例与教理油水分离。

四、说课的类型

1、研究性说课

这种类型的说课，一般以教研组或年级 组为单位，常常以集体备课的形式，先由一位 教师事先准备并写好讲稿，说后大家评议修改，变个人智慧为集体智慧。这种说课可以 一星期搞一次，教研组或年级组里的教师可以轮流说课，这是大面积提高教师业务素质和研究能力的有效途径。

2、示范性说课

示范性说课一般选择素质好的优秀教师上，先向听课教师示范性说课，然后让说课教师将课的内容付之课堂教学，最后组织教师或教研人员对该教师的说课及课堂教学作出客观公正的评析。听课教师从听说课、看上课、听评析中增长见识，开阔眼界。示范性说课可以是校级或乡(镇)级的，也可以是区级或县(市)级的，一般一学期可以举行一次。示范性说课是培养教学能手的重要 途径。

3、评比性说课

要求参赛教师按指定的教材，在规定时间内自己写出说课讲稿，然后登台演讲，最后同听课评委评出比赛名次。评比性说课有时除了说课外还要求说课内容付之课堂实践，或者把说课与交流有关“说课”的理论和经验结合起来，以便把“说课”活动推向更高的层次。这是培养学科带头人和教学行家的有效途径。

五、说课的特点

1、简易性与操作性。

2、理论性与科学性。

3、交流性与示范性。

六、说课与备课、上课的关系

（一）说课与备课的关系

1、相同点：

（1）主要内容相同，说课与备课的教学内容都是相同的。

（2）主要任务相同，都是课前的准备工作。

（3）主要做法相同，都要学习大纲，吃透教材，了解学生，选择教法，设计教学过程。

2、不同点：

（1）概念内涵不同。

（2）对象不同。

（3）目的不同。

（4）活动形式不同。

（5）基本要求不同。

（二）说课与上课的关系

说课与上课之间也存在着明显的区别，主要表现在以下方面。

1、说课与上课要求不同。

2、说课与上课的对象不同。

3、说课与上课的评价标准不同。

从下面的表中可以看出，说课与上课的目的、形式、内容、评价、也有很大差异。

上面的分析可以看出，说课是介于备课和上课之间的一种教学研究活动，对于备课是一种深化和检验，能使备课理性化，对于上课是一种更为严密的科学准备。

说课，就是授课教师在备课之后，向同 行系统介绍自己关于某课的教学设想(意 图)及其理论依据，而后听者评议、交流切 磋的一种教研形式。实践证明，说课活动是 提高教师教学水平生动、经济有效的方式。

一、说课的主要内容

1．说教材

说本教材目的、联系、教学目标、重点、难点和课时安排。

2．说教法

说本课选择何种教学方法、教学手段及其教育理论依据。

3．说学法

说本课拟教给学生什么学习方法，培养哪些能力。

4．说教学程序

说本课的教学思路课堂结构及板书设计等。

说本课不仅要回答“怎样教”的问题而且要以现代教育理论为依据阐明“为什么要这样教。”有利于促进教师积极主动地学习教育理论，用教育理论指导教学实践，改进教学，不断提高教学水平。

说课活动有说又有评，特别是课后的说评结合，围绕这课的教学怎样落实素质教育要求，怎样提高深堂教学效益，各抒已见，相互交流，不仅锻炼了参与者说与评的能力，而且促使教师在理论与实践的结合上有了新的认识，新的提高。说课一定要抓住、难点，突出教法的特点，说出与众不同的教学新意，这就是说课的艺术。

二、说课的类型

l.研究性说课

这种类型的说课，一般以教研组或年级 组为单位，常常以集体备课的形式，先由一 教师事先准备并写好讲稿，说后大家评议修 改，变个人智慧为集体智慧。这种说课可以 一星期搞一次，教研组或年级组里的教师可 以轮流说课，这是大面积提高教师业务素质 和研究能力的有效途径。

2．示范性说课

示范性说课一般选择素质好的优秀教师上，先向听课教师示范性说课，然后让说课教师将课的内容付之一课堂教学，最后组织教师或教研人员对该教师的说课及课堂教学 作出客观公正的评析。听课教师从听说课、看 上课、听评析中增长见识，开阔眼界。示范 性说课可以是校级或乡(镇)级的，也可以 是区级或县(市)级的，一般一学期可以举 行一次。示范性说课是培养教学能手的重要 途径。

3．评比性说课

要求参赛教师按指定的教材，在规定时间内自己写出说课讲稿，然后登参演讲，最后同听课评委评出比赛名次。评比性说课有时除了说课外还要求说课内容付之课堂实践，或者把说课与交流有关“说课”的理论和经验结合起来，以便把“说课”活动推向更高的层次。这是培养学科带头人和教学行家的有效途径。

三、说 目 标

教学目标包括三个方面：《大纲》提出的总目标、年级教学的分目标、单元及课文教学的小目标。说目标，要紧扣总目标，掌握分目标，说清课文教学的小目标，如知识目．标、智能目标、情感目标、学法目标等。如说《直线、线段》的目标。

1．知识目标

使学生初步认识直线和线段，知道线段有两个端点，直线没有端点，并能区别直线和线段。

2．技能目标

使学生学会用刻度尺量和画整厘米数的线段。

3．教育目标

培养学生观察比较能力和动手操作能 力，注意学生良好的学习习惯的养成。本课的教学重点是直线与线段的认识和 区别。教学难点是正确量一段长度和画线段。说好教学目标，一是要科学地制定教学 目标，使目标体现《大纲》的要求，反映教 材的特点，符合学生的学倩；二是要阐述清 楚制定目标的依据，做到言之有理。现以第 人的高尚品德，这是这篇课文的精髓所在。在 教学过程中，要引导学生学习周恩来同志这 种崇高的精神、高贵的品质。

二说基础知识目标。“学会本课的生字新词，读写和积累有关词语，能用“过”、欢腾”造句，能抓住关键词语，理解句意。基础知识的掌握是学生学好课文必备的“硬件”，而词句的训练是整个小学阶段阅读教学的重点。本课的基础知识目标主要是依据课后的有关训练题设计的。用词达意的训练主要是在理解的基础上注意积累和运用，句子的训练是抓关键词语理解句意。

2、搜集数学教育类资料的认识和体会。谈新一轮数学课程改革

编者按：这篇报告是大庆教育科学研究所的同志们经过一个多星期的紧张工作整理而得。现在我们将这篇报告登出，以供各校数学教师之间交流。在此，我们对大庆教科所各位表示衷心的感谢!因为他们为我们提供了这么宝贵的资料。在座的各位可能在你们学校已经是非常优秀的教师了，你们教小学数学课已经驾轻就熟，可能你在学校，在市里，甚至在全省已经是优秀教师了，但是在新的数学课程标准面前，你却发现自己的很多观念遇到了挑战。时至今日，我们的思想仍然更多的关注于教师尽心尽职去教和学生刻苦勤奋地学(这当然很重要)，一句话，让教师、学生适应数学。然而，如果人们发现教师教的数学与学生所学的数学有些可能是教师不必教甚至不应该教，或者学生不必学甚至不应该学的内容，我们该作何感想?!如果有人说小学数学中的某些教学难点本不存在，是由于我们的指导思想在于教师要把一切讲得明明白白，才使事情变得扑朔迷离、纷繁复杂。你相信吗?我们认为，这样的事情不仅存在，而且非常普遍。也可能你曾经作为优秀课代表你的学校、代表大庆市到全省、全国参加过竞赛课，今天却发现，过去的优秀可能有些地方是不对的。

联合国教科文组织对他所属的成员国做了一个调查得出一个结论：影响一个国家教育发展的动力来自教育外部，而妨碍一个国家教育发展的阻力更多的是来自教育内部。我们每一个在座的(包括我自身)都是教育工作者，都是教育内部的一员，我们是成为新一轮数学课程改革的阻力呢?还是一个积极的促进者或是积极的参与者，这是我们每一个教师面临的非常严峻的挑战，在一个新挑战面前你能够正视它，能够认清它，你可能就会成为数学教育工作者最优秀最杰出的典型，否则你就有可能被这个变革的社会所淘汰。

一、新一轮数学课程改革的重心

1997年，我曾面临一个极具挑战性的问题：我国当前基础教育阶段数学教学到底存在什么样的问题，有关数学方面的内容请我写一个材料，我谈了两条，今天中国的数学教育最大的悲剧有二：

第一，学生的学习生涯不幸福，而且这样的状态不能被成人社会所关注。

第二，我们学生学习数学的动力主要是外在的动力，更多的来自分数的压力，而不是来自对数学内在的一种追求，一种爱好。

这是数学教育的两大“悲剧”。所以新一轮课程改革很重要的是改变学生的学习状态。

学生的学习状态可以从三个角度来描绘它。第一是我们学生的情感。情感主要有：对数学的积极感受和自信。能够积极地并且是自信地学习数学，这是学生学习状态很重要的标志。第二是学生的学习方式。变单纯的教师灌输、学生的模仿为学生自主探索、合作学习。第三是学生的知识形态。新一轮数学课程改革我自己体会主要关注三个方面：一是过程的知识，关于知识的发生发展过程，而不是结论；二是策略的知识，方法论的知识，因为方法比知识来的更重要；三是有应用价值的知识，终身有用的知识。

目前学生的学习状态：从情感上讲是被动的、缺乏自信的，不是自主探索的，也谈不上合作学习的；从知识形态上讲更多是结论的知识，更多是技能技巧的，更多是缺乏应用价值的。我们新一轮数学课程改革包括课程的目标、课程标准、实施过程、课程评价，所有方方面面都是为了改善我们学生的学习状态，使得我们学生的学习是基于主体、积极的、有自信的、主动探索的、集体合作的基础上，获得过程的知识，这样的知识才是具有应用价值、终身有用的知识。

二、对新一轮数学课程改革的认识 1.教育重心的根本变化 成人社会所做的一切事情，都是为了我们儿童的发展，人的发展。儿童的发展究竟是什么呢?人的发展包括哪些方面?当然首先肯定学生从无知到有知，从知之不多到知之较多，这是人的发展的一个维度，这仅仅是一个维度。人的发展是多维的，我想至少可以从三个维度来表达。第一是关于知识的问题，刚才我说从无知到有知，从知之不多到知之较多，是人发展的基本标志；第二是智力、思维，也就是心理学所说的认知的发展；第三是人的情感、态度、价值观的发展。

当我们的教育学回忆本世纪一百年教育发展历程的时候，发现有一个很大的变化，从本世纪初期，人们主要强调的是知识，知识是第一位的。思想家培根讲了一句话：“知识就是力量。”所以本世纪初期创办现代学校，我们国家全面引进西方洋学堂的时候，首先关注的是向下一代传授尽可能多的知识，用知识武装我们的下一代，教师的职责是“传道、授业、解惑也”。教师作为成人社会的代表，教师的角色就是向下一代传授知识。本世纪初期，人们对教育的看法，对学校的看法集中于知识。

随着工业化社会的发展，单纯只具有知识是不够的，人开始关注能力的发展。这个时期发生在五六十年代，我国发生在70年代末。到了本世纪末，国际教育学界普遍看到人的知识和技能当然很重要，更重要的是人的情感、态度、价值观。当面对一个复杂纷繁变化的社会，人如何形成强烈的责任感、良好的价值观，跟我们这个时代、社会相一致，这是关于人的发展的核心问题，必需加以重视。因此到了本世纪末，人们在回顾教育发展的时候，找到了发展中间最重要的问题——情感的问题，态度的问题，价值观的问题。

当教育学家在回顾本世纪一百年教育的发展思考把什么样的教育带入21世纪的时候，人们发现，教育的重心发生了一个根本的变化，从原来知识是第一位的，发展到能力很重要，发展到情感、态度、价值观更重要。在阐述课程目标的时候，我们发现，关于人的发展，最重要的是情感、态度、价值观的问题，然后是能力问题，第三位才是知识问题。

1996年、1997年为期一年半关于义务教育课程实施状况的一个调查表明：中小学教师最关注的、谈论最多的是知识问题，是基本知识、基本技能问题，是如何解题及解题技巧问题，只有很少的教师(不到10%)意识到人的情感、价值观、个性、创造性更重要。这并不是教师本身自己造成的，而是我们今天的课程制度，我们的考试评价制度，我们社会的价值观迫使我们教师不得不这么做。当我们调查教师什么是最重要的时候，教师首先讲到，对一个学科而言，学生的兴趣、爱好是最重要的，但是在具体实施时，课堂中更多关注的是知识，是具体的技能。今天，我们在反省教育的时候，不是说知识不重要，而是说能力、情感态度价值观更重要。

2.这是对基础教育的一次革新

大家不要认为我们这次改革就是换一次教材。我想如果这样，这个实验也就没有多大意义了。这次课程改革是对基础教育的一次革新。数学课程是新一轮基础教育革新的一个先锋队，绝对不能简单理解成用一个新教材。这次课程改革绝对不是只将内容做点调整、表达方式做点变化，而是一场发生在教育观念的革新，是一场人才培养模式的革新，是一场发生在课堂教学方式、学生学习质量以及日常教育教学管理等一系列领域的革新。你必须时时用这句话来提醒自己，来思考我怎样用好这套教材。当你使用过程中遇到困惑的时候，你更多的想到所肩负的使命。

三、对我国数学教育的现状应有清醒的认识 1.小学数学教育存在的问题

(1)联合国儿童基金会的一项调查

我想谈几个例子。先说小学的，小学最具有说服力是1993～1995年联合国儿童基金会与教育部基础教育司做了一项调查，这项调查对我国初等教育的教学质量做了检测： 所有小学二年级学生(五年制)都做这样一道题： 小明的体重约20(克、千克)。

所有小学三年级学生(五年制)都做这样一道题： 课桌面积约50(厘米、分米、米)。所有小学五年级学生(五年制)都做这样一道题：

昨天18∶30乘火车去北京，途中经过15时，问何时抵京? 全国大样本的调查结果是这样，二年级的正答率是50.14%，约1/2的学生做对了；第二题三年级的正答率是37.68%，约1/3的学生做出来了；最后一道题五年级的正答率25.52%，约1/4的学生做出来了。

数学是干什么的?是发现模式，找关系，发现规律，用数学把它表示出来。我们从这里也发现这样的模式：二年级二分之一，三年级三分之一，五年级四分之一，到了初

一、初二五分之一，到了高中，会不会剩下六分之一?有没有这样的可能，不是没有这种可能，我们现实状态能说明这样的问题。

当然老师很奇怪：这题目并不难，一个人体重20克总不可能吧，即使用排除法也应选到20千克，为什么只有一半人做对，而让我们的学生做这样的题目，3千克＝()克。当做单位换算时，我们二年级学生正答率可以达到95%以上，同样三年级如果做单位换算正答率可以达到90%以上，为什么遇到带有现实背景的题我们的学生就出问题?而遇到纸上谈兵，单位换算的题我们的学生就做对了，这是为什么?我们在学“量与测量”时首先关注的是单位换算、进率，元角分是单位换算，时分秒也是单位换算，千克、克也是单位换算，面积，体积都是单位换算，我们的主要着眼点落在了单位换算上，而不是单位的实际意义。

学了测量之后，咱们首要关注的是单位的实际意义，学了千克之后，手一掂就知道这个杯子重一斤多点，一拿这个东西就知道多少斤，否则学了重量单位，我们只会纸上谈兵，会做单位换算，拿了具体东西你问他这是多少，他不知道，或者估计的相差很大，学生对我们的计量单位没有实际体验、了解。

(2)小学算术应用题难倒中科院院士

关于小学算术应用题不知难为了多少学生，愁白了多少少年头。我毕业留校时，我邻居的孩子找我，那时他上小学四年级，问一道应用题怎么做，我一时不知怎么列算式来解，怎么办?我没有这个胆量说，对不起，你的题目我不会做，或者你让我用方程来做。我把学生支到一边去，你的作业还挺多的，你去做别的作业吧!我赶快设一个未知数，根据题目的条件写出一个x-2，根据算术应用题，我列出方程，(x-2)×3+5=2×6把它解出来，解的过程中间每一步是不敢合并的，因为一合并我就不知道那数具体是什么意思，所以我都要保留。x=(2×6-5)÷3+2。到了这个时候，我把这个学生叫了过来。为什么先用2×6，为什么减去5，除以3是什么意思，最后要加上2，要小心别丢了，我还跟学生交待半天。学生一听，“你真聪明，真厉害，那么快就做了出来，我想了半天也没想出来。”实际上我是用代数方法去解的。当我说我感受的时候，我发现数学系的许多数学教授也这么想，我们的小学算术应用题，难倒中学老师，难倒大学教授，而且难倒了我们中科院院士。

1999年6月下旬，我们开了一个数学家座谈会，座谈会上中科院院士，搞计算数学的专家周毓麟先生的外孙女做的算术应用题要求综合列式，他一直觉得非常不可理解，我们小学算术应用题经常有这样的题目，一道应用题(用综合列式解)。谁规定一道应用题非得用综合列式解?但我们小学就这么规定的，我们的课本、我们的考试就这么要求的，要求我们小学生做院士不会做的题，那你说小学教育是干什么的?大家更要注意的是如果这样的问题将来有用，姑且罢了，我们学生苦点就苦点吧!我们现在的应用题是根本用不上，许许多多应用题都是人为编造的。如：甲乙两个工程队，干一项工程，甲队完成1/3剩下乙队做，乙队做了2天，剩下两队一块做，做了3天把它做完了，问甲队、乙队分别做，各要几天?什么工程这么去做。

(3)所谓的教学重点和难点

我们就是利用这样的事情折腾十岁左右的儿童!要持续相当长的时间，很多问题成为所谓教学的重点和难点。关于小学高年级带分数的运算，让我们学生做一道二道是可以的，做三五道可以忍受，让学生做更多的，是完全没有必要的。关于带分数，我经常讲这个事情，16/3+9/4这样的题目，我们新教材把这个统统取消。因为我们小学如果要求计算结果是7/3的话，必须写成2 1/3。到了中学，老师会建议我们的同学将最后的结果写成假分数73，不要写成带分数，那我们的教育不是自己跟自己浪费时间吗?小学要你这么做，中学要你那么做，为了说明带分数有用，我们还编了应用题，小明走了513千米，又走了214千米，问小明一共走了多少千米?什么时候人在测量距离的时候，测量路程的时候用这样的办法计量的，没有这样的时候，一辈子也用不上这样的事情，结果让小学四、五年级花大量的时间学这样的内容。加减乘除四则运算外加小括号、中括号，学生一不小心就会出错。小学生升初中时，也许因这样烦恼的题目让好学生丢一分、两分，与所谓好的中学失之交臂。这种状况就是人为制造难点。

(4)“乘数、被乘法”，几十年的故事

再往下说的是关于乘数、被乘数。在乘数、被乘数的问题上，大家都知道，说有2个人，每个人3块钱，问总共有多少钱?刚上学的孩子都能做这样的题目，我们的学生马上能说出结果，但很多学生会把它写错。因为我们小学规定，必须写成3×2，不能写成2×3，说这个(3×2)是对的，那个数(2×3)是错的，因为乘数和被乘数的问题，谁必须放在前面，谁必须放在后面，小学三年级学生要花大量的时间记住。在这中间学生遇到许多困惑，我认为没有必要。1948年，清华大学副校长、数学家熊庆来在他的孙子上小学数学的时候就提出来不要分乘数、被乘数，当时赶上解放，谁也顾不上，这样的小事情就过去了，照样分乘数、被乘数。1987年中科院院士张景中在《小学数学教师》上连续写了两篇文章，从现代数学角度论证，不需要区分乘数、被乘数。西方国家里也都没有乘数、被乘数的概念。什么地方有呢?马来西亚有乘数、被乘数的概念，人家的乘数和被乘数，跟我们的正相反。乘数和被乘数谁放在前面，谁放在后面人为规定有什么必要(2×3既可以表示2个3，也可以表示3个2，一个算式有两种不同意义，具体到某个题上只有一个意义，非常好的表明了数学的一种抽象性)。因此，我们新的教材把这取消了。

据说，1997年7月李岚清副总理也为遇到同样问题感到大惑不解。

大家要知道，像这样一个极为不合理的、恰又如此简单的事情存在了几十年，这件事很值得我们思考。

(5)将简单的问题变复杂

我认为，许多问题需要我们思考，我们教材的许多重点、难点，被人为地把它规定出来。张景中院士在写文章的时候，他的标题是：让数学变得更容易些。小学数学本来很简单，2+3＝5，为什么?在低年级学习数的分解与组成，要记5可以分成2和3，5可以分为1和4，5可以分……新教材现在把它砍掉了。我不理解为什么学习数的分解与组成，研究小学教学法的人告诉我，这样是为后面的学习做准备。“因为2和3组成5，所以2+3等于5。”这有先后逻辑关系吗?2+3＝5是怎么来的?人类实践经验总结的，没有形成数学符号的时候，祖先就知道2+3＝5。一个没有上学的儿童，面对2个苹果加3个苹果，问等于几个苹果?当然等于5个。怎么算的?2个加3个总共是5个，给你数出来的。小孩没上学都会做，上了学反而不会做了，成了“学问”了。在教师的培训材料里，类似的“学问”讲了许多。“5-2＝?”是怎么算的?(5分成2和3，减去其中一部分等于另外一部分)本来是一数就出来的事情，数多了慢慢成了习惯，自己也就记住了，我们非得让学生讲清所谓的“算理”。(6)大量人为规定的法则

当你打开我们编写的小学课本时，会发现计算法则少之又少，我们的原则是：只要没有长远价值的法则，尽可能取消，如确有必要，也不以法则的形式出现。只适合这一节课的法则不要让学生记。

我们的学生从小就开始接触了大量人为规定的法则，学数学就是按照这一套法则去做，你能把这套法则掌握了，记住了，流畅地表达，你就是一个所谓的好学生。在这个过程中学生丧失了自我，丧失了个性，当然就不存在求知欲、好奇心、创造性了。学生原本有好奇心，有求知欲，有许多自己的想法，可一到了学校课堂上，一切都要按照成人的规定去做：两个手要放在后面；说话要先举手；不叫你不能起来。曾发现过这样的课，老师在黑板上写：机场上有15架飞机，又飞来8架……学生一听马上接下去：“机场上一共有多少架飞机?”因为学生知道这种题型就是这种样子，老师转过身来，说：“谁让你说的，我叫你发言了吗?你举手了的吗?”然后把学生训一顿，接着转过身写：“机场上一共有多少架飞机?”那个学生嘟囔了一句：“本来吗!”然后老师接着问这道题目怎么做?15+8＝23，然后问为什么?这道题目有几个已知条件?求什么?虽然全班学生都知道15+8＝23，都会做，可老师却要从头来，已知两个条件，在下面该划线就划线，该划波浪线就画波浪线，然后求什么，要清楚，……许多学生早就不耐烦了，早就坐不住了，他不小心就说话，老师就来气：“这帮学生不好好听讲，老师明明在那讲，为了让你们掌握得好，结果你们不愿听。”真是学生不愿听吗?因为学生早就明白了，会做了，你老师非得讲这件事干什么?结果是好学生，聪明的学生，会做的学生成为调皮捣鬼的学生，老师还要在家长的留言簿上写：今天你的孩子上课又说话了。回家家长一问，孩子却说：“老师讲的我都会了。”家长还得把孩子好好批评一顿，第二天不让他说话。从此之后，孩子知道的不说，不知道的也不说，逐渐逐渐自我封闭起来，失去自我，失去个性，失去好奇心、求知欲。2.金牌背后的思考

大家都说中国数学教学是好的，尤其是作为基础教育的数学教学，评估我们的小学数学教学质量，不少老师认为，我们的小学数学教学质量是好的，我也同样认为，我们小学数学教学质量不错，但是我们好，好在什么地方?我们出现问题，问题出在什么地方?第一个是我们中学生总体水平如何?第二个是我们的优秀学生总体水平如何?(1)发展不均衡

我能得到的资料只有1990年的，1990年中国参加第二届国际教育进步成就协会的数学与科学比较测验。这是对13岁学生做的，因为他们刚从小学进中学，所以他们的状况实际也反映了我们小学生的状况。新闻报到的结果，我们数学是第一名。但是我们学生总成绩发展不均衡，试卷包含五个方面：(1)数与计算；(2)代数；(3)几何；(4)测量；(5)统计。我们学生在数、式、几何三方面确确实实得分第一，但是我们的学生在测量方面是5项中失分最多的，统计方面，在十几个国家里排倒数第五。

我们学生总成绩是第一名，但发展不均衡，表现在两个方面：一个是知识维度；另一个维度是我们学生在认知发展方面。认知发展分三个水平：运算、概念的理解、问题的解决。我们学生在运用数学解决问题方面，失分是最多的。这是我们得到的第一组数据。(2)用时间做代价换来的

我们得到的第二组数据是，这次测验，除了一张试卷还有一个调查，这个调查有两个问题：一个是学生用于学习数学的时间，第二个是学生对数学的积极态度。关于学习数学时间的调查分为：课内学习时间，课外学习时间。课内学习时间

我们学生用于学习数学的课内时间的计量单位是每周多少分钟?调查结果是每周307分钟，6节课多一点。国际的平均时间是217分钟，也就是我们同龄人每周比国外同龄人坐在数学课堂要整整多90分钟。课外学习时间

课外学习时间有5个分支：1时以下，1～2时，2～3时，3～4时，4时以上。

调查结果：中国学生37%以上选择的是4时以上，大多数国家的大多数同龄人选择的是1时以下。我国选择4时的高达37%，何况3时、2时的呢。现在的调查有过之无不及。虽然我们这十年来，倡导素质教育，我用一句话评估，不知道老师能否接受，我们是素质教育的口号喊得很多，素质教育的书和文章写得很多，但是我们基础教育阶段的应试教育状况越来越严重。把这两个事情联系起来，我们得到这样一种结论：①我们的数学总成绩是第一名，但发展不均衡。我们的学生在测量、统计以及解决问题方面不很规则。②我们学生的好成绩从某种程度上讲，是靠时间，是用时间做代价换取的，说得极端一点，是用学生生命的代价换取了一个所谓的数学好成绩。因为我们的学生从小学一年级到高中三年级，在整个12年时间有17%的时间用于数学学习，何况我们不算不正常情况。(3)对数学的积极态度远远不够 在这个调查中，学生对数学的积极态度问题分4个分支来分析的：你是否愿意上数学课?你是否愿意接触数学老师?你是否愿意读与数学有关的书?你是否愿意和同学交流与数学有关的话题? 通过这四个问题了解学生对数学积极态度，调查报告表明中国学生虽然数学成绩第一，但跟西方国家相比，正好出现一个剪刀差，成绩是好的，但积极态度不如西方国家。我们也对大量老师做过调查，他们也希望孩子喜欢自己所教的学科，认为孩子对数学的兴趣比什么都重要。最近《北京青年报》登了一个长篇报告文学，汇文中学一名教师，他从初一教到高三，带了一个班。高考时全班只有一个学生，考的是普通高校，剩下的学生考的都是重点高校。记者问他对教学的看法，他谈了两条：第一，学生们是有差异的，要承认他们的差异，他初中差并不一定高中差，他语文差并不一定数学差，他总有自己好的地方。(学生是有差异的，他是有机会发生变化的，他总处在变化过程中，你不要把他看死了，给他套上一个帽子，叫所谓的“差生”，这样的词最好不要说。学习有困难的学生，并不代表他一定就是最差，他只是暂时有困难。不同的人思维方式不一样，他在数学计算上困难，可能在几何上不困难，在测量上困难，可能在统计上不困难；不同的学生是有区别的。小学有困难，可能他中学不困难。不同学生思维方式不一样，背景不一样，发展潜能不一样，发展速度不一样，所以不要一锤定音。)第二，要注意保护学生的热情(我刚才讲叫积极态度)。记者先后采访他两次，他都讲过这句话“留得青山在，不怕没柴烧”。什么是青山，青山就是热情，就是人对所学知识的热情，没有比失去热情更可怕的了。据我们的调查，数学成绩很好，但明确表示不喜欢数学的中国学生大有人在。关于学生对数学的积极态度，中国学生成绩是好的，但对数学的积极态度不如西方国家。

3.我们的优秀学生总体水平? 我们的数学优秀人才(包括其他学科的人才)究竟怎么样，我介绍份材料：

1992年11月我们开了一个数学家座谈会。座谈会上讲了这样一件事：在1992年9月份，北大数学系成立了一个数学实验班，这个实验班总共有20名学生，其中有4名是1992年参加数学奥林匹克竞赛的选手，剩下的16名是各省市高中数学联赛的前3名。这样组成的实验班，在同龄人的中间绝对是佼佼者，是国内最优秀的尖子生。刚刚过去了二个月，四个奥赛选手怎么样呢?一个学生神经失常，第二个学生表示坚决要转系，他不能从事任何与数学有关的学习和工作，看到数学符号就头痛，坚决要求转系。剩下的一个同学在班上一般，剩下的另一个在班上还可以。刚刚过去才两个月就出现了这样的现象。大家都知道，奥林匹克的学生要花多少心血，从小学开始参加课外学习小组，经过几次选拔，再进华罗庚数学学校，然后在初中进行培训，进高中冬令营、夏令营再进行培训，最后参加国家集训队。请数学家给他们辅导，做了成千上万道题，费了千辛万苦，结果是这个走向，我们应怎样思考这样的事情。

去年物理奥林匹克竞赛在冰岛举行的。比赛之后，科学家们与获奖选手一起开了个座谈会。在座谈会上科学家们对获奖选手说：做了物理竞赛题了，竞赛组委会的专家在这，你们可以提问题。结果只有中国的学生没有问题，不少其他国家的选手都能提出了问题。其中一个学生提的问题，被当时组委会的科学家称之为如果问题得以解决，将预示着物理学的一个突破。数学家创造发明的最具生命力的年龄阶段是25岁到30岁左右，是数学家创造最高峰的时候，也就是数学家主要成果是在25岁至30岁产生的。

我国是七八年开始参加数学奥林匹克竞赛的，当时的优胜者如果是十八岁，现在应该是38岁到40岁，早已过了数学创造的高峰阶段。可是我们到今天还没有看到优胜者们在他的创造高峰期作出数学方面最具创造性的成果，并没有看到这样的事情。显然当我们说培养优秀学生的时候，要打个问号。我们优秀的学生在十七、十八岁以下，我们十八岁以上的不行，可对于一个社会什么样的人群最重要。当他走向成熟的时候，当社会需要他对社会有所贡献的时候，他能有所建树吗? 人的创造性充分自由的发展，要从基础教育做起，到了大学、研究生再进行发展，是不可想象的事情。基础教育阶段，是一个人发展的最重要的时期，这时一个人生理、心理各方面属于发展阶段，九年或十二年的学习，在这期间的学习方式是什么样子，思维方式是什么样子，制约着将来。

四、中西方数学教育比较

1.重新思考数学课程设置的深与浅

西方的课程里面，小学数学阶段所遇到的数学问题跟我们差别很大，通常像15+8这样的问题，在他们的小学三、四年级已经是相当深的问题了。他们要发挥学生的作用，让他们用搭积木的方式：这有15块积木，还有8块积木，怎么把它们合并，得出23，这在他们小学三、四年级很具有挑战性。

今年上半年，有一个初一的中国学生到美国去，在美国的中学上课。因为刚出去，他的外语水平低，语言表达、交流都很困难。在别的课堂上他的表现一直很一般，没有被关注，可在数学课上却不一样。课上数学老师非常郑重地出了一个问题，说这个问题非常难，要认真思考。写到黑板上的是什么呢?是“5×7＝?”。找了两个学生上去做了大半天也没做出来，后来叫到这个中国学生。中国的学生从容不迫地上去很随意在上面把35写了出来，别的学生都用非常惊讶的目光看着中国的学生。下课之后各个数学活动小组在做作业的时候，都纷纷希望他去参加，说他太厉害了，像这样的问题一下子就做出来了。

去年我们跟西欧的同行座谈，他们在1988年以前就规定：中小学学生不要求笔算1/2+1/3，不要求通分母(虽然到今天，这在他们的学校里还有争议，可这个规定仍然执行)，不考学生这样的事情。那这样的问题怎么办呢?用计算器!北京理工大学叶其孝教授受邀请到美国的大学数学系给研究生讲数学建模课。有一个学生算的最后结果是49，放到那没管，老师把这个学生叫过来：“你把这个结果算一算。”这个学生说：“老师你等着。”飞快跑回到自己的座位，从书包里拿出计算器：“老师有了，等于7。”这样一个简单的问题，中国的中学生都知道，他们大学数学系的研究生竟然不知道。他们跟我们的学生相比，类似这样的计算技能，实在相差太大。2.由一个故事引起的思考

1998年2月26日《参考消息》报道，当记者采访英国分管教育的大臣：“大臣先生，7乘以8等于多少?”这个大臣哼哈一声：“我想想，7×8大概等于54吧。”

英国人(包括美国人)现在强调要加强基础，他们说他们的国民基本读写算能力太差了，分管教育的英国国务大臣说：“把7×8说成等于54，对于我们所有人都是一个教训，明天我要用1个小时来背诵并记住乘法口诀表。”英国首相布莱尔下令对英国学校的课程进行全面改革，要求每天至少要有2个小时用于基础教育的三要素，读、写、算的练习。英国首相呼吁要加强基础教育，加强基础教育的结果就是学生每天用于读、写、算的时间为两个小时，(再看看我们的学生每天有多少个小时用在读写算上?)下令让教师保证学生能够记住乘法的口诀表。

为什么像记住乘法口诀表这样的事情，在西方国家这样困难呢?这有它的文化背景，我们的1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，这10个阿拉伯数字，都是一种单音节的发音。而到英文里面，从0到9之间，有若干个英文字母，都是多音节发音的，多音节跟单音节是有区别的。我们的孩子，让他们在七八岁的时候记住7×8＝56，是很容易的。而到英文里面7×8＝56，就相当复杂。到了俄罗斯，要记住这个口诀，必须要编一首打油诗。每一个口诀要一首打油诗，才能把乘法口诀表记住。西方人在学记基本的九九表，20以内的加减的时候要比我们难很多。

我们看到，国际上这些发达的国家，他们的课程标准，在小学阶段要求学生在五、六年级掌握九九表。而我们的学生跟他们相比，完全不一样，因此这个材料在被介绍到中国大陆的时候，就会出现截然不同的观点。一种观点：人家英国人、美国人都在加强基础了，我们中国的优势就在基础教育上，中国的基础教育的优势不能放松，这是一种观点。还有另外一种角度让我们思考：第一，像英国一个分管教育的国务大臣7×8算出54来，但并没有影响他作为一个西方七个发达的工业化国家分管教育的国务大臣，而每一个中国老百姓7×8＝56都会学得滚瓜烂熟的，但中国有多少高级的管理人才和科技人才?这事情值得我们思考。第二，我们要思考的：美国人、英国人所强调的加强基础是什么呢?是加强九九表。而类似九九表事情对中国来说，某种程度讲根本不是基础，是基础中间很有限的一部分。中国学生在这些基本计算上，算得远远比他们复杂得多，要难得多。我们的学生论计算，无论是加减乘除运算顺序，无论是(到了初中高中)恒等变换代数式，做这样的运算比西方的国家远远要复杂得多。而另外一方面，可能人家会做的问题，我们不一定会做。

我给大家举个例子：在西方课程中间，会遇到什么事情呢?北京教育学院有一个老师，到美国去当访问学者，我们中国的留学生就跟这位老师讲，美国的基础教育尤其是数学教育是非常糟糕的，你到美国来学数学教育没什么好学的，一年对于你来说是个浪费。美国如此糟糕的基础教育，它是怎么支撑这么发达的经济、科技、文化、现代管理制度的，基础教育很糟糕，国家很发达，这是什么原因?有两种答案：一种答案，有相当一部分人是这么设想的，美国靠着天然的经济条件，用那巨额资金，大量吸引包括中国在内的发展中国家的中小学学生到美国接受高等教育，然后支撑着美国科技、经济、文化发展。基础教育不行，就用钱从国外引进人。确实相当一批人才(包括中国)留在美国为美国工作。但美国国家统计报告表明，真正支持美国科技、文化、经济发展的人是美国本土所培养的人，美国的高精尖技术领域、航空航天领域，绝对不允许普通的华人去工作。你可以在他的数学、物理领域，一般的大学里面工作，但美国真正高精尖技术里面支撑美国最前沿研究的人，都不是中国或其他第三世界国家的人。还有一个数据，美国获诺贝尔奖的80%都是美国自己本土培养的。我们说美国基础教育很差，但支撑发达的美国经济、科技的人才又都是美国自己本土培养的。要反思，从这个背景上看要反思的是中国的基础教育问题，我们基础教育很好，但实际上并不真正具有创造性的后备人才。

3.在美国中小学数学课堂上我们发现了什么? 这位北京教育学院的老师，在查阅大量资料之后，深入地去看美国基础教育，美国的初一数学课学生们在学什么?有节数学课老师出了一组题目： 第一组题目让学生计算： 5×5＝ 5×5 8×8＝ 4×6＝ 5×4 7×9＝

第二组题目： 25×25＝ 24×26＝

第三组题目：如果38×38＝1444，(给了结果)那么37×39＝?你能不计算就得出结果吗? 从上面题中你发现了什么? 你能给出一个类似的例子吗? 你能用一般公式表示吗?你能对你的发现加以证明吗?(允许用计算器)通过这样题目，学生发现的是什么呢?n×n=n2，(n-1)×(n+1)=n2-1，也就是两个自然数的平方与比它少1与比它多1的自然数的乘积的结果相差1，就是这样的关系。学生可能5×7笔算不会算，但这个过程中，注重的是归纳，猜想寻找规律，寻求证明，形成一般表达式，这是数学研究基本过程。我们的学生每道题都可以算得很好，但我们的教材没有引导学生去尝试从中间发现规律，发现模式。我说什么是数学，数学就是找规律，找关系，找模式，形成表达式，并加以证明。就是这么一个过程，小学有小学的，中学有中学的，逐层次逐层次往上发展，而这个基本过程是数学的发现与创造的过程。美国数学教师重视过程，关注的是策略，关注的是数学研究的基本过程，研究的基本方法，而不仅仅要结论。同样是计算，他们的重心不是在计算本身的技巧上，而是具体在通过归纳、发现规律，要这个规律表达出来，并能对发现的规律进行证明。我再说另外一节课，这节课是1989年被美国数学教师杂志向全美的中小学数学老师推荐的，声称代表了90年代美国数学教育的典范。这节课是这么展开的：

今天我们一起讨论一个问题，大家有没有想过这样的事情，我们都有跑步体验，为什么有的人跑得快，有的人跑得慢?有的学生说：“老师，谁个高谁就跑得快，谁个矮谁跑得慢。”在这个时候老师没做任何判断，做了一个停留时间——等待。

这个“等待”非常重要，我们的教师要会做延迟判断，让学生自己来判断，而不是老师作为一个法官来判断，这是我们的老师在课堂上要经常使用的一种策略。我们老师不要把自己知道的答案马上急于告诉学生，没有必要的。

随着教师的推延，马上就会有学生提出问题：“老师，不对，我们班××个子不高，但他跑得很快。”

学生举了一个例子，你不要小看这句话，实际上这句话经历了一个非常精彩的过程。前面是一个猜想，这是一个什么过程?这是对猜想推翻的过程，要想证明一个事情，举一百个例子不行，要想推翻一个事情，举一个例子就行了。可能这中间只有一两分钟的时间，但这一两分钟，学生经历了最基本的科学研究方法的熏陶。

随后学生又提出问题：“我们班有两个学生，他们的个子一般高，结果一个人跑得快，一个人跑得慢。”

这样的问题确实提得好，这就跟我们都是26的自行车，同样大小为什么有的骑得快，有的人骑得慢?频率有高有低。单位时间内我比你的步子要多，所以我比你跑得快。这里面高矮的问题，步频的问题。

老师把学生分成四个小组，干什么呢?让他们看1984年洛杉矶奥林匹克竞赛100米实况。有句题外话，为什么他们看1984年的，当时是1989年。为什么他不找1988年，因为1984年是美国人刘易斯拿得冠军，美国人这种所谓的爱国主义教育绝对不是我们老师在政治课上讲的，他们是在教学中间始终贯穿的，这跟日本人在进行他的爱国主义教育一样。日本人怎么教育?日本人把他的学生拉到中国的天安门广场，在天安门广场统计一个小时之内经过的小汽车中间有多少辆是日本人自己制造的。在中国的土地上，在黄金地段，在代表中国主权特征的天安门广场，统计通过的汽车有多少辆是日本人制造的。他们没有空头的爱国主义情绪，说教式的爱国主义教育。在西方包括美国这个国家，它的爱国主义教育是在日常的教育教学生活中间贯穿，是非常好的。

学生可以分成小组看百米录像，在这个中间能看到什么呢? 利用各种各样的设备，因为在美国，在西方，许多教室是功能教室，功能教室有大量参考书，大量器材，学生可以利用的。

学生首先把六名运动员每个人100米跑的时间从t1到t6记录下来；然后通过放慢镜头把每个运动员100米用了多少步记下，每个人的步数假设从m1一直到m6。有了这两个数据，学生们做什么呢? 过程一，学生先算每个人的步距，用100米除以步数，就能得到每个运动员的步距。

每个人跨1步多大，这跟什么有关呢?这跟身高有关，所谓个高的人跑得快，因为身高就腿长，腿长步距就大。每个人的步距有了，在这个过程中学生们发现，跑得最快的是刘易斯，但并不是步距最大的，就像刚才那位学生举的反例，个最高的人不一定跑得最快，在这场比赛中，个最高的人并没有拿第一名，而刘易斯拿了第一名。

过程二，用100米跑的步数m1，…，m6与时间t1，…，t6的比可以算出每个人的步频。步频，每个人1秒钟跨了多少步。如果跨了150步，总共用9秒8，两数一除，我就知道1秒钟跨了多少步。有了步数，有了时间就可以算出步频。

于是有的学生猜测步频越大，跑得越快，结果发现，总体的状况是这样，步频比较高的人，他跑的成绩是比较好的。

一个人跑得快，都受哪些因素影响呢?是由2个因素影响的，步距与步频。这里出现是所谓的二元函数问题，这就是美国小学六年级讨论的问题。我不知道我们的老师怎么想，我们的学生在五、六年级在做什么?他们美国的学生在做什么? 从这两个例子可以看出，我们的重心和他们的重心不完全一样。第一，学生可以很好地理解现实生活。如一个人跑得快慢最主要的因素是步距和步频，像这样的问题应该谁来研究?在我们国家应该是田径教练来研究，但它是美国小学数学六年级研究的题目。第二，学生更好地理解了数学。什么是数学，数学就是探索生活中的各种关系，建立模型，总结出规律。(二元函数就是一种模型，它有效地描述了现实生活中两个因素的关系)在这一过程中，学生更好地理解数学——一个探索的过程，有了这一过程，对现实生活的理解，对数学的理解才会更深刻。

4.走的不是一条道(看看他们的试卷)在探索数学的过程中，让学生的基本能力和基本情感价值观自然形成。为了更好地说明这个问题，我这有一个材料，这个材料是美国纽约州立大学的一位教授七月份寄给我的，他负责纽约州四年级和八年级的测验，曾参加过全美数学课程标准的制定，他寄的是四年级和八年级的测验材料，这是人家的试卷，他们的卷面有什么呢? 第一道题是计算题227+14，让你选择，有五个答案供你选择；第二道题是4×116也给你五个选择答案。

在此之后剩下的几十道题中你再也找不到计算题了。

我们再看这道题：投标，扔到中间就得100分，扔到周围的圈里是10分，扔到外围的就是1分。有个小孩扔了12次，12次的情况都打在靶子上，扔到中间有3次，扔到周围圈的是4次，扔到外围的是5次，加起来是?选择答案(345分)。这次让学生在具体的情景之中作答。像这样的题已经找不到我们常规计算题的影子了。

我们再看这道题；在这个罐子里面大概有40个小球，让学生去估算下面另一个罐子里的玻璃球，下面的高度相当于上面的3倍。上面是40个，下面相应的就是120个，是上面的3倍。

还有一道题目是这样的，一个盘子，里面堆了许多爆米花，有32个，看盘子中爆米花分布的样子也就占1/4，问如果把这个盘子装满的