第一篇：流体力学必考题总结

质量力：作用在流体的每一个质点，其大小与流体的质量成比例。

流线：某一时刻在流场中画出的一条空间曲线年，在该时刻，曲线上所有质点的流苏矢量

都与该曲线相切。

渐变流：指各流线接近于平行直线的流动。

急变流：或流线之间的夹角较大，或流线之间的曲率半径较小，或兼而有之。有压流：流体过流断面周界全部为固体边界所限定时，称有压流。

无压流：流体过流断面部分被固体边界所限，并且有自由表面。

总水头：位置水头，压强水头，速度水头之和成为总水头。

沿程水头损失：由于沿程阻力做功而引起的水头损失。

沿程阻力：由于流体的粘性作用而产生的流动阻力。

局部水头损失：由局部阻力引起的水头损失。

局部阻力：当流体在流程的某一局部区域，发生固体边界的急剧改变，流速分布发生变化的局部区域上产生的流动阻力称为局部阻力。

水力最优断面：当I ,n 和A一定时，使所通过的流量Q最大的断面形式或者使水力半径R

最大，即湿周X最小的断面形式。

临界底坡：当明渠做均匀流动时的正常的正常水深恰好等于该流量下的临时水深 断面比能：以各断面最低点为计算基准面的单位重量液体所具有的机械能。

水文统计法（数理统计法）：根据水文现象具有的随机特性，以概率论为基础，运用数理

统计方法，处理长期实测所获得的水文资料，求得水文现象特征值的统计规律，为工程规划、设计提供所需的水文数据。

流域：河流的地面和地下集水区域，称为流域。

水流携沙力：在一定的水力和边界条件下，单位体积水流所能携带泥沙的最大数量。重现期：等于或大于某一量值的随机变量平均多少年或多少次出现一次的时距。等容直（粒）径：与泥沙颗粒同体积的球体直径。

桥位：是桥梁、引道路堤及调治构筑物三者位置的总和。

流线：是一条有许多流体质点连接而成的光滑曲线。

堰流：水流从障碍物上溢流至下游的水流现象。

简答题粘性流体总流波努力方程的前提假设：

1恒定流 2密度为常数，不可压缩的均质流体 3质量力只有重力 4计算断面为渐变流断面 5流动过程中没有流量的流入或流出，能量的输入或输出。明渠均匀流的水力特性与产生条件有那些？

特性：1 过水断面形状和大小沿程不变。2过水断面水深、流速分布沿程不变，因而流量，断面平均流速，动能修正系数，动量修正系数以及流速水头沿程不变。流动中的水头损失只有沿程水头损失而没有局部水头损失。3明渠的均匀流的总水头线、测压管水头线（即水面线）与渠道底坡线三线平行，即J=Jp=i

产生条件：1属恒定流，流量沿程不变。2长直棱形顺坡渠道。3渠道粗糙系数n及底坡沿程i沿程不变。桥位选择的一般要求：

1服从路线总方向及建桥的特殊要求。2桥轴线为直线或为曲率小的平滑曲线，纵坡较小。3少占农田，少拆迁，少淹沿。4有利于施工：如材料运输，场地布置，便桥架设等。5适应市政规划，协调水运，铁路运输，满足国防，经济开发等需要。大中桥的桥孔布设原则 P110（7条）

1应与天然河流断面流量分配相适应。2有通航和筏运的河段，通航孔应布设在稳定的河段上，必要时可预留通航孔。3在主流深泓线上不宜布设桥墩；在断层、陷穴、溶洞等地质不良地段不宜布设墩台。4有流冰流木的河段，桥孔应适当放大，必要是，墩台应设置破冰体。5山区河段的桥孔布设。6平原区河段。7山前区河段。桥位选择时的考虑因素?

1桥位选择的一般要求。2水文及地形条件。3地质条件。4航运条件。5其他要求。

6什么是流线？它有那些基本特征？

所谓流线是某一时刻在流场中画出的一条空间曲线，在该时刻，曲线上所有质点的流

速矢量都与该曲线相切。

特征：1流线是表示某时刻流动方向的瞬时线，而在恒定流中，因各空间点上的流速

矢量不随时间变化，则流线的形状和位置不随时间变化2流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某一时刻场内的流谱。3在一般情况下流线不想交，否则位于交点处的流体质点，在同一时刻就有与两条流线相切的两个速度矢量，这是不可能的。

7.如何确定桥面中心最低标高？

桥面中心线上最低点的标高，成为桥面标高，也称桥面高程。

1不通航河流：（1）按设计水位计算桥面高程：Hmin=Hs+

Hmin----桥面最低高程Hs-----设计水位—桥下净空安全值——桥梁上部构造建筑高度。——影响因素的高度之和。（2）按设计最高流冰水位计算桥面最低高程

2通航河流

Hmin=Htn+Hm+hdHtn——设计最高通航水位。Hm——通航净空尺度

影响因素：雍水、浪高、波浪、雍高、河湾超高、涨水时的水拱、局部股流雍

高、床面雍高、渠浮物高度。

8.河床动态冲刷过程？

水流挟沙力：在一定水力及边界条件下，单位体积水流所能挟带泥沙的最大数

量。来沙量：通过某水流断面，上游输送泥沙的数量。当来沙量大于水流挟沙力时，多余的泥沙沉降到河床发生淤积；当来沙量小于水流挟沙力时，会冲走河床原先沉积的部分泥沙，发生冲刷；当来沙量等于水流挟沙力时，处于相对平衡状态。

第二篇：流体力学总结

1，迹线------某一流体质点在空间运动时，不同时刻流经的点组成的连线。

2，切应力-------由于液体质点的相对运动，产生一种内摩擦力抵抗这种运动，而此力与作用面平行，称切应力。3，理想流体------把流体看作绝对不可压缩、不能膨胀、无粘滞性、无表面张力的连续介质，称为理想流体。4，流线------某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，该曲线上的所有各点的速度向量都与曲线相切。5，流函数------二维流动中，由连续性方程导出、其值沿流线保持不变的标量函数。

6，势函数------某函数对相应坐标的偏导数，等于单位质量力在相应坐标轴上的投影，该函数称为势函数。7，连续介质------认为真实流体所占有的空间可以近似的看做由“流体质点”连续地、无空隙地充满着的，称为连续介质。

8，粘性流体------实际流体都是粘性流体。粘性指流体质点间由于相对运动而产生的阻碍相对运动的性质。9，有势流------液体流动时每个液体质点都存在速度势函数的流动称为势流，不存在绕自身轴的旋转运动。, 10，涡旋强度------指微小涡束的涡旋通量（wd）。d：横断面积；w：旋转角速度。

11，流管------指流面中所包含的流体。流面：在流场中作一空间曲线（非流线），过曲线上各点作流线所形成的面。, 12，激波------在气体、液体和固体介质中，应力、密度和温度等物理量在波阵面上发生突跃变化的压缩波。二，问答

1，速度势函数具有什么性质？ 答：速度势函数具有下列性质：

（1）速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；

（2）φ（x，y）=常数时是等势线，它的法线方向和速度矢量的方向重合；（3）沿曲线M0M的速度环量等于M点上φ值和M0点上φ值之差；MM0udxvdy(M)(M0)

（4）若考虑的是单连通区域，则由于封闭回线的速度环量 vdr0

因此速度势函数将是单值函数；若考虑的是双连通区域，则速度环量Γ可以不等于零，因此φ可以是多值函数，它们的关系是

（M）(M0)k1其中，k1是封闭回线的圈数。2，水流运动的流函数具有什么性质？ 答：流函数ψ具有下列性质：

（1）ψ可以差一任意常数，而不影响流体的运动；

（2）ψ（x,y）=常数时是流线，亦即它的切线方向与速度矢量的方向重合；

（3）通过曲线M0M的流量等于M点和M0点上流函数之差，即Q（M）(M)

(4)在单连通区域内若不存在源汇，则由Qvnds0推出流函数ψ是单值函数；若单连通区域内有源汇或在双连通区域内，则一般Qvnds0由此，流函数ψ一般说来是多值函数，且各值之间的关系为

（M）（M0）k1Q其中，k1是封闭回线的圈数。3，什么是单连通区域？什么是多联通区域？

答：（1）如果区域内任一封闭曲线可以不出边界地连续的收缩到一点，则此连通区域成为单连通区域。（2）能做多个分隔面而不破坏区域连通性的称之为多连通区域。

（3）分隔面：是这样的曲面，它整个位于区域内部，而且它和区域边界的交线是一条封闭曲线。4，动力粘滞系数μ和运动粘滞系数ν的区别和联系是什么？ 答：联系：都可以用来表示液体粘滞性的大小；ν由μ推导而来：

区别：μ是动力量（Pas），ν是运动量(m/s);后者不包括力的量纲而仅仅具有运动量纲。5，描述液体运动的两种方法？区别？ 答：拉格朗日法，欧拉法

区别：拉格朗日法着眼于每个流体质点自始至终的运动过程，描述它们的位置随时间变化的规律；而欧拉法是着眼于空间点，设法在空间中的每一个点上描述出流体运动随时间的变化状况。6，在什么条件下流线和迹线重合？

答：流线是同一时刻不同质点所组成的线，与拉格朗日观点联系；迹线是流体质点在空间运动时所描绘出来的曲线，与欧拉观点联系。在定常运动时，二者必然是重合的。

定常运动：流场内函数不依赖时间t的运动称为定常运动。

7，“均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流”，这种说法是否正确？为什么？ 答：不正确。

均匀流是相对于空间分布而言，恒定是相对于时间而言，是判断流体运动的两个不同标准。如：当流量不变，通过一变直径管道时，虽然是恒定流，但它不是均匀流。

8，对于简单剪切流动，因其流线平行，流体质点作直线运动，所以该运动是无涡流。这种判断是否正确？为什么？ 答：不正确。

无涡流指液体流动时各质点不存在绕自身轴的旋转运动。对于剪切流动，尽管流体流线平行，但（rotv）z-a（a为常数），处处有旋。

9，流体力学中的系统是什么意思？有哪些特点？ 答：系统也称体系，是指某一确定流体的点集合的总体。

系统随流体运动而运动，其边界把系统和外界分开；系统边界的形状和所包围的空间大小随运动而变化。

在系统的边界上，没有流体流入或留出，即系统与外界没有质量交换，始终由同一些流体质点组成，但可以通过边界与边界发生力的作用和能量交换。210，简述流体膨胀性的意义及其影响因素。

答：膨胀性：流体温度升高时，流体体积也增加的特性。又定义为在压强不变的条件下，温度升高一个单位时流体体积的相对增加量。

影响因素：温度，液体本身的性质。

11，微分形式和积分形式的基本方程各有什么特点？ 答：微分形式是了解流动过程各参数的变化规律。

积分形式是流动过程在某处参数发生不连续变化时采用的形式。

12，什么是涡旋不生不灭定理？

答：即拉格朗日定理：若流体理想、正压，且外力有势。如果初始时刻在某部分流体内无旋，则以前或以后任一时刻中这部分流体皆无旋。反之，若初始时刻该部分流体有旋，则以前或以后的任何时刻中这一部分流体皆有旋。

13.试分析图中三种情况下水体A受哪些表面力和质量力？（1）静止水池；（2）顺直渠道水流；（3）平面弯道水流。

答：（1）压应力；重力。

（2）压应力，切应力；重力。

（3）压应力，切应力；重力，惯性力。

14，（1）写出以下两个方程的名称：

方程一：ui0 xi方程二：uiui1pujFiv2ui txjxi（2）从单位重量流体能量观点简要说明两方程中各项的物理意义，以及两方程的物理意义。

（3）这两个方程在应用条件上有何相同和差异之处？

三，计算

1，已知恒定流场中的流速分布如下，求此流场中的流线和迹线。

u1ax

2u2ax1（a≠0）

u30

2，3，已知定常流场中的流速分布为 dVV(V)V（），写出该式在直角坐标系及下标记号的表达式。dttx1x2x3u1ax2x1x222,u2ax1x1x222,u30

x10,x20,aconst(0)

求其线变形率，角变形率和旋转角速度。试判断其是否为有势流。

4，已知不可压平面无旋流动的流函数x1x1x2x2，求其速度势函数。

5，潜艇水平运动时，前舱皮托管水银U形管上读数为h=17cm，海水比重为1.026，皮托管流速系数为c0=0.98。试求潜艇航速。

6，已知二元流场的速度势为x2y2。

（1）试求ux，uy，并检验是否满足连续条件和无旋条件。（2）求流函数，并求通过（1,0），（1,1）两点的两条流线之间的流量。

7，有一旋转粘度计，同心轴和筒中间注入牛顿流体，筒与轴的间隙很小，筒以等角速度转动，且保持流体温度不变。假定间隙中的流体作圆周方向流动，且为线性速度分布，又L很长，所以底部摩擦影响不计。如测得轴上的扭矩为M，求流体的粘性系数。

pijdvi8，，写出该式在直角坐标系下及矢量形式的表达式。Fidtxj

9，图示为重力作用下的两无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。深度H为常量，斜面倾角为α，流体密度为ρ，动力粘度为μ，液面压强pa为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力。试分析此流体运动现象的求解思路和步骤（不需要求解出方程）。

10，图示为重力作用下的两无限宽水平平板间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为a，流体密度为ρ，动力粘度为μ，上板沿x方向移动的速度U为常量。试求平板间流体的速度分布。

课本

P138：一，7、9、10、14；二，1（2、3、7）、4；三，1、3 P199：2、3、6、8 P239：1（1、3）；2（1）；8 P166：1、3、5、7

第三篇：流体力学总结

1、质点：是指大小同所有流动空间相比微不足道，又含有大量分子，具有一定质量的流体微元。含义：宏观尺寸非常小，微观尺寸足够大，具有一定的宏观物理量，形状可以任意划定质点间无空隙。

2、连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的、内部无空隙的连续体。

3、相对密度：物体质量与同体积4摄氏度蒸馏水质量比

4、体胀系数：压强不变时每增加单位温度时，流体体积的相对变化率（α），温度越高越大。

5、压缩率：当流体温度不变时每增加单位压强时，流体体积的相对变化率，压强越大压缩率越小压缩越难（kt）。

6、体积模量：温度不变，每单位体积变化所需压强变化量，（K），越大越难压缩。

7、不可压缩流体：体胀系数与压缩率均零的流体。

8、粘性：流体运动时内部产生切应力的性质，是流体的内摩擦特性，或者是流体阻抗剪切变形速度的特性，动力黏度μ：单位速度梯度下的切应力，运动黏度:流体的动力黏度与密度的比值。

9、速度梯度:速度沿垂直于速度方向y的变化率。

10、牛顿内摩擦定律：切应力与速度梯度成正比。符合牛顿内摩擦定律的流体；不符合牛顿内摩擦定律的流体。

11、三大模型：连续介质模型、不可压缩模型、理想流体模型。连续介质假设是流体力学中第一个带根本性的假设。连续介质模型：认为液体中充满一定体积时不留任何空隙，其中没有真空，也没有分子间隙，认为液体是连续介质，由此抽象出来的便是连续介质模型。不可压缩流体模型：在忽略液体或气体压缩性和热胀性时，认为其体积保持不变以简化分析，流体密度随压强变化很小，可视为常数的流体。

理想流体模型：连续介质模型和不可压缩模型的总和。

12、质量力与表面力之间的区别：

①作用点不同质量力是作用在流体的每一个质点上表面力是作用在流体表面上； ②质量力与流体的质量成正比（如为均质体与体积成正比）表面力与所取的流体的表面积成正比

③质量力是非接触产生的力,是力场的作用表面力是接触产生的力

13、简述气体和液体粘度随压强和温度的变化趋势及不同的原因。

答：气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小；液体的粘度随温度升高而减小，气体的粘度却随温度升高而增大，其原因是：分子间的引力是液体粘性的主要因素，而分子热运动引起的动量交换是气体粘性的主要因素。

1、质量力与表面力：与流体微团质量相关且集中作用在微团质量中心上的力；大小与表面面积有关且分布作用在流体表面的力（平衡流体无表面切向摩擦力，有流体静压力即内法线压力—静压强是当流体处于绝对静止或相对静止状态时流体中的压强）。

2、流体静压力是流体作用在受压面上的总作用力矢量，大小方向与受压面有关，流体静压强是一点上流体静压力的强度，是无方向标量，各向同性。

3、欧拉平衡方程：质量力与表面力任意方向上平衡（相等相反）；受那方向上质量分力，静压强沿该方向必然变化。

4、有势质量力：质量力所做的功只与起点和终点的位置有关。力的势函数：某函数对相应坐标的偏导数，等于单位质量力在相应坐标轴上的投影。

5、等压面：流体中压强相等的各点所组成的平面或曲面。也是等势面、与单位质量力矢量垂直、两不混合平衡液体交界面必是等压面。

6、静压强基本公式：平衡流体各点位置势能与压强势能一定。

7、绝对压强pabs：以没有气体分子存在的完全真空为基准起算的压强。

相对压强p：以当地大气压pa为基准起算的压强，各种压力表测得的压强为相对压强，相对压强又称为表压强或计示压强。

真空度pv：绝对压强小于当地大气压的数值。

测量压强做常用的仪器有：液柱式测压计和金属测压表。

液柱式测压计包括测压管、U形管测压计、倾斜式微圧计和压差计。

8、阿基米德原理：液体作用于潜体或浮体上的总压力，只有铅垂向上的浮力，大小等于所排开的液体重量，作用线通过潜体的几何中心。

9、流体平衡微分：在静止流体中，各点单位质量流体所受质量力与表面力相平衡。

10、静压强计量单位：应力单位，液柱高单位，大气压单位。

11、静止流体中应力的特性。

（1）方向沿作用面的内法线方向；（2）静压强的大小与作用面的方位无关各向同性。

12、由液体静力学基本方程得到的结论（推论）：（1）静压强的大小与液体的体积无关；

（2）两点的压强差等于两点之间单位面积垂直液柱的重量；

（3）在平衡状态下，液体内任一点压强的变化等值地传递到其他各点。

1、描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。除个别质点的运动问题外，都应用欧拉法。

拉格朗日法：是以个别质点为研究对象，观察该质点在空间的运动，然后将每个质点的运动情况汇总，得到整个流体的运动。质点的运动参数是起始坐标和时间变量t的连续函数。欧拉法：是以整个流动空间为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，然后将每个时刻的情况汇总起来，描述整个运动。空间点的物理量是空间坐标）和时间变量t的连续函数。

2、定常流动=恒定流：如果流场中物理量的分布与时间变化无关，则称为定常场或定常流动，当地导数为零（与空间坐标无关，则称为均匀场或均匀流动，流线平行迁移导数为零）。

3、控制体：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面。

4、迹线：流体质点运动的轨迹，拉格朗日法。

5、流线：流场中的瞬时光滑曲线，曲线上各点的切线方向与该点瞬时速度方向一致（定常中流线形状不随时间变化且与迹线重合，除了奇点驻点不相交不突然转折），欧拉法。流线构成一管状曲面，称为流管。流线：表示某一瞬时流体各质点运动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。（对的描绘）

6、流管流束总流：在垂直于流动方向的平面上，过流场中任意封闭的微小曲线上的点作流线所形成的管状面称为流管。流束：流管以内的流体，称之为流束。总流：由无数多个元流组成的，在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的流体

7、流量、体积流量、质量流量：单位时间内通过某一过流断面的流体的量；单位时间内通过断面的流体体积；单位时间内通过断面的流体质量。

8、一（二、三）元流：除时间坐标外，流动参数随一（二、三）个空间坐标变化的流动。

9、理想伯努利方程：理想流体总机械能守恒。重力流体的位能、压能、动能叫做位置、压强、速度水头。

10、皮托管：将流体动能转化为压能从而通过测压计测量流体速度的仪器。

11、节流式流量计：通过节流元件前后压差测定流量的仪器。

12、流线迹线相关 流线性质：（1）在恒定流中，流线的形状和位置不随时间变化；（2）在同一时刻，一般情况下流线不能相交或转折。在恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中一般情况下两者不重合，但当速度方向不随时间变化只是速度大小随时间变化时，两者仍重合。

差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度方向与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。

13、流动分类：（1）根据运动参数是否随时间变化，分为恒定流和非恒定流；（2）根据运动参数与空间坐标的关系，分为一元流、二元流和三元流；（3）根据流线是否平行，分为均匀流和非均匀流。

1、力学相似：实物流动与模型流动在对应点上对应物理量有一定的比例关系，包括几何相似（实物流动与模型流动有相似的边界形状，一切对应的线性尺寸成比例）、运动相似（实物流动与模型流动的流线几何相似，对应点速度成比例）、动力相似（实物流动与模型流动受同种外力作用，对应点上对应力成比例）。

2、相似准则：使两个流动动力相似，各项力符合的一定约束关系，包括雷诺准则（相似流动的雷诺数相等，粘滞力相似；雷诺数为惯性力与粘滞力之比）、弗劳德准则（相似流动的弗劳德数相等，重力相似；弗劳德数为惯性力与重力之比）、欧拉准则（相似流动的欧拉数相等，压力相似；欧拉数为压力与惯性力之比）。

3、相似条件：满足几何相似、运动相似、动力相似，以及两个流动的边界条件和起始条件相似。

4、相似关系：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据;动力相似是决定两个流动相似的主导因素;运动相似是几何相似和动力相似的表现。

4、量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的。

6、量纲分析：方法是瑞利法和π定理，依据是量纲和谐原理。

7、为什么每个相似准则都是和惯性力做比较？

作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律F=ma。流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。

1、层流：流速较小时，水沿轴向流动，流体质点没有横向运动，不互相混杂的流动状态。

2、湍流（紊流）：流速较大时，流体质点有剧烈混杂，质点速度在横纵向上均有不规则脉动现象的流动状态。

3、临界：管径与运动粘度一定，从湍流变层流时，平均速度为下临界速度，无量纲数为下临界雷诺数（2320）。

4、水力半径:总流过流断面面积与湿周之比。

5、圆管中层流：只有轴向运动，定常、不可压缩，速度分布的轴对称性，等径管路压强变化的均匀性，管道中质量力不影响流动性能。

6、哈根伯肃叶定律：圆管层流的K型分布得到速度分布，推求流量、粘度。

7、沿程损失：等径管路中由于流体与管壁及流体本身的内部摩擦（沿程阻力），使流体能量沿流动方向逐渐降低，可以用压强损失、水头损失（压强水头差—达西公式）、功率损失（水头损失乘流量pg）表示。

8、尼古拉兹实验：对圆管有压流进行了系统的沿程阻力系数和断面流速分布的测定。层流区（2320），临界区（4000，扎依钦科），光滑管湍流区（布拉休斯100000尼古拉兹），过渡区（柯列布茹克=阿里特苏里用于三个阻力区），粗糙管湍流区（尼古拉兹=希夫林松）

9、局部损失：经过管路附件时产生的压强、水头、能量损失（涡旋区和速度重新分布）。

10、长管短管：水头损失绝大部分为沿程损失，局部损失可忽略的管路；水头损失中沿程损失、局部损失各占一定比例的管路。

11、管路特性：水头与流量的函数关系。

12、串联管路流量等，总水头损失等各段水头损失和；并联管路各段损失等，总流量为和。

13、管中水击（液压冲击）：在有压管道中，由于某种原因，使水流速度突然发生变化，同时引起压强大幅度波动的现象。用间接水击、过载保护、减小管路长度和增加管道弹性防止。

14、雷诺数与粘度、流速、管径（大小）有关。

15、圆管层流流动时,其断面的切应力直线分布、流速抛物面分布。

1、薄壁厚壁孔口区别：厚壁孔口只有内收缩，阻力系数分入口、断面收缩、后半段沿程当量苏力系数三部分。

2、厚壁孔口流速系数小，速度小；流量系数大，流量大。

3、管嘴正常工作条件：长度不能太短，p不能太大。

4、管道：简单管道（沿程直径和流量都不变化的管道）、串联管道（由直径不同的管段顺序连接起来的管道）、并联管道（在两节点之间并联两根或两根以上的管道）。

5、孔口、管嘴出流和有压管流各自的水力特点是：（1）孔口、管嘴出流只有局部水头损失，不计沿程水头损失，；（2）短管的局部水头损失和沿程水头损失都要计入，；（3）长管的局部水头损失和流速水头的总和同沿程水头损失相比很小，按沿程水头损失的某一百分数估算过忽略不计。

7、相同的作用水头下，同样开口面积，管嘴的过流能力是孔口过流能力的1.32倍。

第四篇：流体力学知识点总结

流体力学

11.1

流体的基本性质 1)压缩性

流体是液体与气体的总称。从宏观上看，流体也可看成一种连续媒质。与弹性

体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力，这是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动，而对静止的流体来说流动是不存在的。如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变，其大小可由胡克定律

vpkv

描述。大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压缩量通常很小。例如在500个大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不到原体积的两万分之一。同样的条件下，水银的体积减少量不到原体积的百万分之四。因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。气体的可压缩性表现的十分明显，例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩。但在可流动的情况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。物理上常用 马赫数M来判定可流动气体的压缩性，其定义为M=流速/声速，若M2<<1，可视气体为不可压缩的。由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而当气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的。总之在实际问题中若不考虑流体的可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。

2)粘滞性

为了解流动时流体内部的力学性质，设想如图10.1.1所示的实验。在两个靠得很近的大平板之间放入流体，下板固定，在上板面施加一个沿流体表面切向的力F。此时上板面下 的流体将受到一个平均剪应力F/A的作用，式中A是上板的面积。

实验表明，无论力F多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。通过观察可以发现，在流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度。若图10.1.1中的上板以速度u沿x方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是从0（下板）到u（上板）的一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。实验结果表明，作用在流体上的切向力F正比与板的面积和流体上表面的速度u反比与板间流体的厚度l，所以F可写成

AuFl，因而流体上表面的剪应力可以写成

ul。

u 式中l是线段ab绕a点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变。若用微分形式表示更具有普遍性，这时上式可以改写成

dudl，dudFdAdl。

或

上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数称为流体的粘滞系数，上式叫做牛顿粘滞性定律。为常数的流体称为牛顿流体，它反映了切应力与角形变是线性关系，不是常数的流体称为非牛顿流体。

流体的粘滞系数是反映流体粘滞性的大小的物理量，在国际单位制中，粘滞系数的单位是牛顿秒/米2。所谓粘滞性是指当流体流动时，由于流体内各流动层之间的流速不同，引起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”，而这个内摩擦力就是上式中的切向力，物理学中把它称为粘滞阻力。因此上式实际上是流体内部各流动层之间的粘滞阻力。

实验表明，任何流体流动时其内部或多或少的存在粘滞阻力。例如河流中心的

水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的。在实际处

理流体的流动问题时，若流动性是主要的粘滞性作用影响不大，则可认为流体

是完全没有粘滞性的，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。

3）压力与压强

从前面的讨论知道静止流体表面上没有剪应力，所以容器壁作用在静止流体

表面上的力是与液体表面正交的，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与

容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。在静止液体内过某一点作一假

想平面，平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面。流体表面与流

体内各点的压力一般是不一样的，在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面，而流体内部某点的压力沿各个方向都有，因为过流体内部一点我们可以取任意

方向的平面。在流体力学中为了描述流体内部的作用力，引入一个叫做压强的物

理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。为了计

算流体内某一点的压强，我们应该设想通过该点的假想平面s是无限小的，若该

面上的正压力为F，则定义该点的压强

Fplims0s。

在国际单位制中压强的单位是牛顿/米2，也称为帕用Pa表示。在实际应用中压强也有用等价的流体柱高表示的，如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压强的单位。流体力学中压强是标量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流体内部的力总是垂直于假想平面，因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力F可写成 dF= pds。由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力，至于压力的方向由所考虑平面的法线决定，可以是任何的方向，当流体流动时压强与压力的关系不变。4）流体的密度和比重

在流体力学中常用密度来描述流体的动力学规律，其定义和固体定义一样为单位体积流体的质量，即流体内某点的密度为

lim

mdmv0vdv。

对均匀不可压缩的流体密度是常数，一般情况下流体内部各点的密度是不相同的。单位体积流体的重量称为流体的比重。设想在流体内部取一小体积v，v中包含流体的质量为m，因而v内流体的重量为mg，由定义该流体的比重

mglimgv0v。

11.2 流体静力学方程 1）静止流体内任一点的压强

静止流体内过一点可以沿许多不同的方向取面元，现在来研究这些不同取向的面元上压强有什么关系。在静止的流体内部取一个很小的四面体ABC包围该点，如图10.2.1所示。设面元ABC法线的方向余弦为、、，周围流体对该点作用力（压力）可以用压强P1、P2、P3和P表示，当流体静止时所受到的合外力为零，即

因为 P1SCOBPSABC0P2SOACPSABC0PSPS0ABC3OABSABCSCOBSABCSOACSSOABABC

由上式得到

P = P1= P2 = P3。

由于四面体是任意选取的，于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上沿各个方向的压强都相等，与过这点所取面元法线的方向无关。正因为如此，流体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一个面的。2）流体静力学方程

处理流体静力学问题时，常常取流体内部一个小流体元作为研究对象。作用在小流体元上的力大致可分为两类。一类是作用在小流体元外表面上的压力，我们称之为面力，如液体表面的正压力Pds。另一类是作用在整个小流体元上与流体元的体积成正比的力，如重力gdv、惯性力等，我们称为体力。下面从牛顿定律出发推导流体静力学满足的普遍方程。当流体处于静止状态时，流体内任一小流体元受到的面力与体力之和必定为零，即平衡条件为

F面F体0。

与压强类似，我们引入一个体力密度

fdF体dv，它

表示作用在单位体积流体上的 体力。例如在只有重力作用下，体力密度f的大小就是比重g，方向沿重力方向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f = －a。为了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元，根据平衡条件有

整理后得

pxsyz(pxpx)syzfxv0pyszx(pypy)szxfyv0ps(pp)sfv0zzzxyzxypxsyzfxv0pyszxfyv0psfv0zzxy

利用

pxpxpxsyzsyzxv,xxpypypyszxszxyv,yypzpzpzsxysxyzv,zz

可将前式简化成

px(xfx)v0pyfy)v0(ypzfz)v0(z 

显然体积v≠0，所以只能是

pypxpzfx0,fy0,fz0xyz。

在上面的式子中取极限任一点都 必须满足的方程

x0,y0,z0，就可得静止流体内pppfx0,fy0,fz0xyz。

借助梯度算符

ijkxyz，上式可以改写成更简洁的形式

fp。

这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该点

处压强的梯度则流体一定处于静止状态。

3）重力场中流体内部压强分布

i)液体：我们先来讨论静止液体内部的压强分布。设液体的密度为放置在一 长方形的容器内，液面的柱面高为z0，液体表面的压强为P0如图10.2.3所示。

在重力场中液体受到的体力密度为－gk，由流体静力学普遍方程得

ppp0,0,gyz x。

由上述方程知液体内部压强与坐标x、y无关，只是深度的函数。积分第三式得

p = gz + c，当z=z0时P=P0.故c=P0+gz0，所以液体内部压强随深度变化的关系为

P = g(z0z)+ P0 = gh + P0 ，式中h为液面下的深度。上式表明静止液体内部的压强只与距离液面下的深度

有关与液体内部水平位置无关。

ii)气体：现在来讨论重力场中空气压强随高度变化的规律。为简单起见，假

定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成理想气体。如果在地面处

空气的压强为P0、密度为0，则理想气体的状态方程可表示成

PP00。

以地面为坐标系原点所在处，z轴垂直地面向上，由流体静力学方程

dp= gdz,。

将理想气体状态方程代入上式消除得到

pdp0gdzp0，分离变量后

dpgzppdz00 p，p00gpLnzp0p0。完成上面的积分得

所以压强随高度的变化

pp0exp[gz/0]]，这表明空气压强随高度的变化满足波尔兹曼分布。

4）帕斯卡原理

如果将不可压缩液体放在一个密闭的容器内，容器上端与一个可移动的活

塞相连。当活塞对液体表面施加的压强为P0时，按照重力场中液体内部压强

公式，在液面下深度为h处的压强为

P = P0+g h。

如果把活塞对液体表面的压强增大至P0+P0，液面下h深处的压强也会变化，按照液体内部压强公式，此时液体下h深处的压强变为

PP0P0ghPP0。

这就是说当液体表面压强增加P0时液体内任一点(h是任意)的压强也增大了

P0，因此可以形象地说不可压缩液体可将作用在其表面的压强传递到液体

内的各个部份包括存放液体的器壁，这一结论称之为帕斯卡原理，是早期由

帕斯卡从实验中总结出来的，从现代观点看它是流体静力学方程的一个推论。

5）阿基米德定律

任何形状的物体置于密度为的液体中都会受到液体的浮力，浮力的大小等

于物体排开液体的重量。这是一个实验规律称为阿基米德定律。从现代观点

看，它也是流体静力学方程的推论。

如图10.2.4所示，物体完全浸没在密度为的液体中。由于物体在液体中处

于平衡状态，因此它受到的浮力与同体积的液体所受

到合外力相同，这样我们可以将此物体用同体积的液体置换，置换部份液体受到的重力是gdv。要使液体保持平衡，周围的液体必然对它有一个向上的面力（浮力）作用于它。由流体静力学方程

gkp，dpdFdFgdzdxdydzdv，得

或者dFgdv。积分后得 F合=F2 F1= gv.，于是得到浮力大小

F浮=F1F2= gv

这就是说浮力是铅直向上的其大小等于物体排开液体的重量。

例一；在密闭的容器内盛满密度为1的液钵，在液体中浸放一长为L、密度为

2的物体，如图10.2.5所示。设2 <1，则它必定浮于液体表面，当容器以加

速度a向前运动时物体相对液体向哪一方向运动？

解：为了弄清物体向哪个方向运动，先用同体积的液体置换物体。容器运动时，置换部分的液体必然与其它部份保持平衡。若将容器取为参照系，可利用流体静力学方程求出液体整体运动时内部压力分布。

由

f=p，dpf惯,dx 得 dpf重力dy

由于无沿y方向运动的可能性，故只讨论上式的第一个方程，其中

f惯= －1a 所以液体内部沿x轴压强分布为p=－1ax+c（c为常量），置换液体相对其它部份液体静止时两端的压强差为p= 1La，相应的压力差为F=1av(v为置换部份的体积)，在所选择的参照系看来，合外力F=F+F惯=1av1av=0，液体相对静止。对实际物体来说，受到的惯性力为F惯= 2av，而物体两端的压力差不变仍然为F，因此实际物体受到的合外力F=F+F惯=1av2av0，由此可知，实际物体必然会相对液体沿x轴方向运动。

例二；密度为的不可压缩液体置于一开口的圆柱形容器内，若此容器绕对称轴作高速旋转，求液体内压强分布和液体表面的形状。

解：以容器为参照系，此时流体内任一流体元都受到重力与惯性力的作用，相应的体力密度为gk和a。由流体静力学方程

pgkagk2xi2yj，得到

ppp22x,y,gyz x。

所以有

pppdpdxdydz2xdx2ydygdzxyz1221222d(xy)gdzdrgdz,22

积分后得

1p2r2gzc

2。

如附图10.2.6所示，当r=0时，z=h，p=p0(p0是液体表面的压强)，所以c = p0 +gh，最后求得液体内压强分布

2pp0rg(zh)2。

2又取液体表面上任一点为研究对象，由于流体相对坐标系处于静止状态，液体

表面上任一点的合力必然沿曲线的法线方向或者说曲线的斜率满足下式

dz2r2rtggg。

dr 积分后

2r2zc2g

，当r=0时z=h，故c=h。最后得到液体表面的曲线方程

2r2zh2g

，由此式知道液体表面为一旋转抛物线。

11.3流体运动学描述 1）流体运动分类

流体流动的分类有许多种，这里介绍经常遇到的几种。

理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把流体看成是无粘滞性、不可压缩的理想模型，因此理想流体的流动过程是无能耗 的可逆过程。稳定流动；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流动称为稳定流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不随时间变化。

例如在稳定流动时，如果流体内某点的速度是沿x轴方向，其量值为3cm/s，则在流体以后的流动中该点的流速永远保持这个方向与量值。若用v、、T分别表

vT0tt示流体内部速度、密度以及温度的分布，则稳定流动时满足t。

v0t反之若流体内任一点的速度不满足就说流动不是稳定的，例如变速水泵喷出的水流就是如此。

均匀流动：流体流动过程中如果任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相

v0同，不随空间位置的变化就称流动是均匀的。用公式表示可写成l，其中 l表示沿任意方向求导数。反之，若某一时刻流体内部各点的速度不全相同的流动称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管的流动是稳定的均匀流动，而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定的非均匀流动，流体加速通过一喇叭形长管的流动是不稳定的非均匀流动。

层流与湍流；在流体流动过程中如果流体内的所有微粒均在各自的层面上作定向运动就叫做层流。由于各流动层之间的速度不一样，所以各流动层之间存在阻碍相对运动的内摩擦，这个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律。层流在低粘滞性，高速度及大流量的情况下是不稳定的，它会使各流动层之间的微粒发生大量的交换从而完全破坏流动层，使流体内的微粒运动变得不规则，这种现象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动层的力），引起更多的能量损耗。

有旋流动：在流体的某一区域内，如果所有微粒都绕着某一转轴作旋转就称流体是作有旋流动。最直观的有旋流动是涡流，但不是仅仅只有涡流才是有旋流动，物理上判断流体是否作有旋流动是用所谓的环量来刻画的。设想在流体内

取一任意的闭合回路C，将流速v沿此回路的线积分定义为环量，用公式表示就是

cvdlvcosdlcc。

流体内部环量不为零的流动叫做有旋流动，环量处处为零的流动称为无旋流动。按照上面的定义，层流也是有旋流动，参见图10.3.0。2)流线与流管

研究流体的运动，可以观察流体内微粒经过空间各点时的流速。一般情况下，流体内各点的速度是随时间和空间位置变化的，因此流体内各点的速度分布是时间与空间的函数，即

v = v(x, y, z, t)。

物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，所以流体内各点流速分布就可以看成速度场。描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电力线，磁场中引入磁力线一样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定的，流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向，图10.3.1（a）给出了几种常见的流线。

一般情况下空间各点的流速随时间t变化，因此流线也是随时间变化的。由于流线分布与一定的瞬时相对应

（参见图10.3.1（c）），所以在一般情况下，流线并不代表流体中微粒运动的轨道，只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的行迹。另外，由于流线的切线表示流体内微粒运动的方向，所以流线永远不会相交，因为如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒

经过该点时同时具有两个不同的速度，这当然是不可能的。

如果在流体内部取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所围成的细管 就称为流管，如图10.3.1（b）所示。由于流线不会相交，因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度，也就是说流管内部的流体不能流到流管外面，流管外的流体也不能流入流管内。3)流量

流体力学中用流量来描述流体流动的快慢，工业上也称流量为排泄量。设想在流体内部截取一个面A，定义单位时间内通过截面A流体的体积为通过截面A的（体积）流量。如图10.3.2.所示，在流体内部取一小面元dA通过它的边界作一流管，在流管上截取长度为流速v的一段体积，由于单位时间内该体积内的流体会全部通过面元dA，所以通过面元dA的流量就是dQ = vcos dA。如果把面元定义为矢量，取其外法线方向为面元的正方向即dA=dAn, 那么通过面元dA的流量可以表示成dQ=v﹒dA，而通过整个截面A的流量就可以表示成更简洁的形式

QdQvcosdAvdAAAA。

11.4 流体力学基本方程 1）一般方程

在流体内沿流管截取一小流体元，设在t时刻小流体元占有体积为V，边界为S。按照它的体形在速度场中选取一假想体积，使得在t时刻假想体积与截取流体元 的体积完全一致如图10.4.1（a）所示。图中虚线表示实际的流体元，实线表示 假想的体积。流体会流动，其体积与假想体积之间会发生相对运动变成图 10.4.1.(b)所示的情况。流体元的一部分会穿出假想体积元的边界，而周围的流 体会流入假想的体积元，使假想体积内有流体流入也有流体流出。

设N是流体元所携带的某种物理量的总量，它可以是质量、动量，或者是能量。是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是N的密度。我们来考查流体流动时，物理量N随时间的变化规律。注意到在t+t时刻流体元占据的体积是II+Ⅳ，而在t时刻占据的体积是I或Ⅱ+Ⅲ，因此在t到t+t时间内流体元所携带物理量N的变化量

NttNt[dVdV]tdt[dV]tIIIVI。

在上式右侧加上零因子

III 重新组合，然后除以dt得

[dV]tt[dV]ttIII

dNdVdVdtItdtIdVdVtIVIIItt。

上式的第一部分

dVdV/dtdVtItdtIt I，是单位时间内假想体积内流体所携带N量的变化率。第二部分的第一、二项分

别为

[dV]tdtIVdt流出边界vdA,[dV]tdtIIIdt流入边界vdA，表示单位时间内流入流出假象边界的物理量N，它们可以用密度对流量的 积分给出。选择假想体积边界面的外法线为正方向，如图10.4.2，上两式合起来就是

vdA假象边界。

将上面的结果代回方程得到

dN假想体积dv假想边界vdAdtt。

上式说明流体元的某个物理量N随时间的变化可以化为假想体积内流体的物理

量N随时间的变化，即等于假想体积内N对时间的变化率（偏导数）加上从该体

积边界流入N量的净增加值。这是流体动力学的一个普遍规律，由此可以推出流

体动力学的几个重要方程。

2）连续性方程

若考查流体流动过程中质量变化规律，取N=m，这时。由于流体流动dm0过程中质量不变dt，一般方程式化为

dV假想边界vdA0假想体积 t。

这就是流体力学的连续性方程（积分形式），它是以质量守恒出发得到的，其意义为在一个假想体积中，流体的质量随时间的变化等于单位时间从其边界流入该体积的净质量。利用体积分化为面积分的公式

V 连续性方程可化为

(v)dVvdAS，tdV(v)dV0V V，[t(v)]dV0 即

V。

由于dV  0，所以只能

3）能量方程

(v)0t

上式就是连续性方程的微分形式，它对流体内任一点都成立。

如果我们讨论流体的能量变化，可取N=E，此时e，式中e为单位质量流体 的能量。由一般方程式得

dE假想体积edV假想边界evdAdtt，上式就是流体内部能量满足的方程。它表示流体能量随时间的变化可由假想体积内流体能量随时间的变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定。4）动量方程

如果我们讨论的是流体动量如何随时间变化，可取N=P，此时v。将此关

系代入一般方程可得流体力学的动量方程

dp假想体积vdV假想边界v(vdA)t dt。

其意义为流体的动量随时间的变化率等于假想体积内流体的动量随时间的变化加上从假想体积边界流入该体积中的净动量。

5）方程的应用

i)作为连续性方程的应用，考虑在流管中稳定流动的流体。由于流动是稳定的，流线的位置不随时间变化，沿流管截取一假想体积如图10.4.3所示，该体

0积由流管的边界与上、下两个面1和2包围。对稳定流动t，这时连续性方程退化成

vdA0假想边界。

这表明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净质量为零，由于管内外的流体均不能穿过管壁，所以流体只能通过下截面1流入，上截面2流出。这意味着从截面1流入的流体质量必定等于通过截面2流出假想体积的质量，即

S11v1dA12v2dA2S2。

如果用1及2分别表示截面1与截面2处的平均密度，用Q1、Q2表示通过截面1与截面2的流量，上式可以表示成更方便的形式

对于不可压缩的流体

Q112Q2，12，上式退化为 Q1=Q2。

结果表明，不可压缩的流体在流动时，沿流管的任意截面上流量均相同，它是质量守恒的必然结果。

ii)作为动量方程的应用，考虑在一弯管中稳定流动的流体，如图10.4.4所示。沿载流管截取一假想体积，该体积由载流管内边界与1、2两

0t个截面包围，同样地，对稳定流动有且任意一点流速v=常量，因

此

动

量

方

程

退

化

成dp假想边界v(vdA)dt。

由于在载流管的边界处流速v垂直于载流管的内表面，所以上式中对假象体积的外表面积分实际上退化为对1、2两个截面的面积分

dp1v1(v1dA)2v2(v2dA)dtS1S2 1v1v1dA2v2v2dAS1S

21v1Q12v2Q2

这里的

1、

2、v1、v2是1、2两个截面上的平均密度与平均速度。如果流体是不

可压缩的且流动过程中质量守恒，这时1=2=，Q1=Q2= Q，结果简化成

dpQ(v2v1)dt。

从图10.4.4看出，流体在载流管内动量的改变是由于管壁施加给流体作用力的缘故，其大小与方向由上式决定，因此由牛顿第三定律可以得到结论：流体对载流管的作用力也由上式决定，但作用力的方向相反。

11.5 理想流体的流动 1）沿一条流线的欧拉方程

先来介绍流体力学中一个十分重要的方程欧拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无粘滞性的流体稳定流动时，取流体内一根流线S，如图10.5.1所示。沿流线截取一横截面为dA，长为ds的一小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个截面上的正压力（以流线的方向为参照

方

向）

pp(p2p1)dAdAdsdvss， 力的方向沿着流线的切向。这段流体元还受到重力的作用，其大小为mg = gdv ,方向竖直向下。设重力与流线之间的夹角为，则重力沿着流线切线方向的投影为（见图10.5.1）

zgcosdvgdvs。

对所取的流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是

pzdvgdvadvs s，式中a为流体元沿流线切向的加速度。将g用比重表示，并消除上式中dv得到



pzass。(1)

式中的切向加速度a可改写成

dvvsvvvavdtsttst，把上面的式子代回前面的式子(1)就可以得到

1pzvvgv0sst

s，v0 这就是沿一条流线的欧拉方程。对于稳定流动t，欧拉方程退化成

1pzvgv0sss。

由于此时只有一个变量（空间变量s），上式中的偏微分可用全微分代替，去掉微分公因子ds后得

dpgdzvdv0 。

2）柏努利方程

无粘滞性的流体稳定流动时，沿任何一条流线必定满足上式。对理想流体，由于不可压缩上式中的密度是常数。将上式沿流线积分，注意此时密度为常量就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程

p12gzv常数2 。

上式就是著名的柏努利方程，式中的积分常数也称柏努利数，它是随着不同流线 而变化的。式中每一项的量纲都是单位质量的能量[M2S-2]。若将上式除以g，每项就成为单位重量的能量，即

pv2z常数2g 。

对液体来说，用上式比较方便。若用g乘上式就得到

12pgzv常数2，该式用于气体显得方便一些，因为对气体来说高度z的变化往往是不很重要的，在精度要求不很高的情况可将其略去，这样方程显得简单。

现在来说明一下柏努利方程中各项的物理意义。第一项P/是单位质量流体流动时对外做的功或者流功，也就是单位质量流体对周围环境所做的功。为了弄清这一点可参见图10.5.2装置，一个由叶片构成的涡轮放置在水槽下端的出水口处，当水流动时液体会对涡轮施加一个力矩使涡轮旋转。作用在叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面积dA，若再乘以压力作用中心到涡轮转轴的距离r，就是作用在涡轮转轴上的力

矩。假定叶片在dt时间内转过d角度，则力矩对涡轮做功

dwNdPdArdPdAds。式中ds是压力中心位移的大小，将上式除以d t时间内流出液体的总质量dAds，就是单位质量的液体对涡轮所作的功

pdAdsp。

dAds

第二项gz是单位质量流体的势能。因为质量为m的流体在重力场中提高z高 度时重力所做的功是mgz，这时流体的势能增加了mgz，所以单位质量流体的势能就是gz。

v2/2项是单位质量流体的动能。因为质量为m的流体以速度v运动时它具有动能是mv2/2，故单位质量流体的动能为v2/2。从上面的分析可以知道，柏努利方程实际上是理想流体沿着流线运动时的能量方程。

关于柏努利方程的应用应注意下面几点，a)当所有的流线都源于同一流体库，且能量处处相同，这时柏努利方程中的常数不会因流线不同而有所不同。这时对所有的流线来说柏努力数都相同，此时柏努力方程不限于对一条流线的应用。b）在通风系统中的气流，若压强变化相对无气流时变化不大，这时气体可以看成不可压缩的，柏努利方程仍可适用，不过气流的密度应取平均密度。c)对渐变条件下的非稳定流动，也可用柏努利方程求解，这时引起的误差不会很大。d)对于实际流体的稳定流动，可先忽略流体的粘滞性，用柏努利方程得到一个理想的结果，然后再用实验作一些修正，也就是说要加入能量损耗项。

例题，水正沿着如附图所示的管内流动，管上端的直径为2米，管内流速为3米/秒。管下端的直径为1米，管内流速为10米/秒。假定流体可视为理想流体，沿着流线压强不变，求管的上端相对地面的落差。

解：沿管的中心取一条流线，按柏努利方程在流线的两端1、2处

2v1p1v2pz122z22g2g，由已知P1=P2所以

(z1z2)122(v2v1)2g。

设管上端与地面的落差为y，显然 y=z1z20.5，由此得到

y

122(v2v1)0.52g。

将v1=3米/秒，v2=10米/秒代入上式，解得y=3.64米。