圆锥曲线计算技巧

——整理自有道精品课关旭老师公开课“新高三圆锥曲线专项”

给定一个椭圆和一条直线：

椭圆方程：x2a2+y2b2=1

直线方程：y=kx+b

一般做法：

1)

联立方程组

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

将直线方程带入椭圆方程中

x2a2+kx+m2b2=1

3)

通分

b2+a2k2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0

4)

求判别式

Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)

5)

当Δ>0，用韦达定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=2a2kmb2+a2k2

x1x2=

a2m2-a2b2b2+a2k2

上面的运算数不是有点复杂呢，那接着往下看看关旭老师提供的计算技巧吧：

巧运算

1)

联立方程组

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

将直线方程带入椭圆方程中

x2a2+kx+m2b2=1

不用通分！

上式可换做：

1a2+k2b2x2+2kmb2x+m2b2-1=0

记x2的系数为A,x的系数为B,常数项为C

则上式可记为：Ax2+Bx+C=0

3)

求判别式

Δ=（2km/b2）2-4(1/a2+k2/b2)(m2/b2-1)=-4m2/a2b2-4/a2+4k2/b2

这个式子展开后有五项，然而有两项是可以消掉的，所以只剩三项。

4)

当Δ>0，用韦达定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=-BA

x1x2=

CA

（这样子运算是不是简单了很多呢！）

此外，常用的两个结论还有：

一、直线交椭圆的弦长：L=1+k2ΔA

（因为只要联立了方程组，就一定要求判别式，将判别式代入这个式子求弦长会比一般做法简单很多）

二、y1+y2=k(x1+x2)+2m

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

用此方法可大幅节省运算时间，圆锥曲线是不是简单了不少呢？

这里给出了两道非常简单的例题，快用简洁的方法算一算吧。

1、.若椭圆与直线y=2x+5相切，求椭圆方程。

2、.若直线y=kx+与椭圆．交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且•>2，求k的取值范围？

答案:1.a=9

2.1/4

备注：数学公式真的好难输入QAQ,有点担心排版的时候公式复制过去会乱，所以把那些数学式子截成了小图片附在这里：